数列の質問です。

質問

数列の質問です。

(a_[n+1] + 1)^2 + (a_n -1)^2 ≦ 2

のときに、数列{a_n}が上にも下にも有界であることを示せ。
また、lim_[n→-∞] a_n、lim_[n→∞] a_nの存在を示し、
全てのnに対して、a_n=0を示せ（ｎ∈N）

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

No.1 の式変形では、絶対値を開いて
1-√2 ≦ an ≦ 1+√2 です。
同様に、任意の n に対して
-1-√2 ≦ a[n+1] ≦ -1+√2 が言えますから、
併せると、補足の通り、
1-√2 ≦ ak ≦ -1+√2 ですね。
有界性を示すだけなら、どっちを使っても
構いませんが。

回答No.1

alice_44

(a_n - 1)^2 ≦ (a_[n+1] + 1)^2 + (a_n - 1)^2 ≦ 2　より、
|a_n - 1| ≦ √2。 すなわち、1 - √2 ≦ a_n ≦ 1 + √2。

それで、lim_[n → -∞] a_n　って、いったい何さ？

補足

alice_44さん、ありがとうございます！
そうやって挟んで行くんですね。

ただ、そのやり方ですと、

-√2+1 ≦ a_n ≦ √2-1

にならないでしょうか？

lim_[n → -∞] a_n
はおそらくa_[0], a_[-1], a_[-2]・・・a_[-∞]
のことだと思います。

問題文にそう書いてあったのですが、
僕も初めてこんな記号を見ました…。