行列の問題です。

質問

行列の問題です。
固有値と固有ベクトルの解法を教えてください。(X >0)
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

固有値をtとして
固有方程式
det(X-tE)=0　（Eは３ｘ３の単位行列)
を計算すれば
(t-3x-1)(t+x-1)^3=0
∴t=t1=3x+1,t=t2=1-x(３重解)

-------------------この計算--------------------
X=
[1,x,x,x]
[x,1,x,x]
[x,x,1,x]
[x,x,x,1]

固有値をtとすると固有方程式は
det(X-tI)=0
|1-t,x,x,x|
|x,1-t,x,x|
|x,x,1-t,x|
|x,x,x,1-t|=0
左辺の行列式をAとおくと
1行に「2行+3行+4行」を加えて1行目を（1-t+3x)で括ると
A=(1-t+3x)*
|1,1,1,1|
|x,1-t,x,x|
|x,x,1-t,x|
|x,x,x,1-t|
2行、3行、4行からx(>0)を括りだすと
A=(1-t+3x)*x^3*
|1,1,1,1|
|1,(1-t)/x,1,1|
|1,1,(1-t)/x,1|
|1,1,1,(1-t)/x|
(2),(3),(4)行目から1行目を引くと
A=(1-t+3x)*x^3*
|1,1,1,1|
|0,(1-t-x)/x,0,0|
|0,0,(1-t-x)/x,0|
|0,0,0,(1-t-x)/x|
(2),(3),(4)列目から1列目を引くと
A=(1-t+3x)*x^3*
|1,0.0.0|
|0,(1-t-x)/x,0,0|
|0,0,(1-t-x)/x,0|
|0,0,0,(1-t-x)/x|
=(1-t+3x)*x^3*{(1-t-x)^3}/(x^3)
=(1-t+3x)(1-t-x)^3
従って固有方程式は
(1-t+3x)(1-t-x)^3=0
これを解いて
t=t1=1+3x,　t=t2=1-x(3重解）
x>0なのでt1≠t2（4重解にはなることはない）
-----------------------------------------------

t1に対する固有ベクトル
(X-t1*E)(x1,y1,z1,w1)^T=(0,0,0,0)^T
を解いて
v1=(1,1,1,1)
t2に対する固有ベクトルv2,v3,v4は
(X-t2*E)(x1,y1,z1,w1)^T=(0,0,0,0)^T
を解いて
v2=(1,0,0,-1),v3(0,1,0,-1),v4=(0,0,1,-1)

固有値に重解を持つときの固有ベクトルの求め方については以下の参考URLをご覧下さい。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue2.htm
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1141859361

回答No.1

Tacosan

「X > 0」の意味は分かりませんが (行列が 0 より大きいってどういうことだ?), 愚直に固有多項式を求めてください.
気が利くなら工夫すると楽になりますが, 気が利かなくても何とかなる.

補足

言葉が足りなくすみません。成分x＞０ということです。