α=a+ibとする。次の式をα、α~(←共役複素数のつもり)で表せ。

質問

α=a+ibとする。次の式をα、α~(←共役複素数のつもり)で表せ。

この問題は基本的にはどうやって解くのですか？
a + 2b + 1
-2a + 3b + i
a^2 - 2a + ib
までは答えを見て一応納得は出来たんですが、解き方自体はまだ分からないので今は試行錯誤をして解くしかありません。
例えば、三番目の問題は答え(α^2)/4 + (αα~)/2 + (α~^2)/4 - α/2 - (3α~)/2を見て
やっと(α+α~)^2 = 4a^2になることに気付きました。引き算にすれば(α-α~)^2 = -4b^2です。
これらを4で割ったり-1を掛けたりすることでa^2とb^2が出ますよね。（ふぅー、汗

でも今度の問題は、b^2 - iab - 2 - iです。まだ答えを見ていないです（見てもどうせ解き方書いてないですから）。
b^2の部分は-(α/2 - α~/2)^2で出ました（経験より）。
-2 - iの部分はαの計算は要らないでしょう、きっと。
問題は-iabの部分です。
α^2 = (a^2 - b^2) + 2iab
α~^2 = (a^2 - b^2) - 2iab
となり、
α~^2 - α^2 = -4iab
となるので、
(α~^2 - α^2)/4 = -iabですね。(あ、答えは微妙に形が違いますね…)

こんな解き方しかないのでしょうか？
もっと効率的な解き方はありませんか？
次の問題、3ia^2 - abを例にお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>α=a+ib…(A)とする。次の式をα、α~で表せ。

α~=a-ib　…(B)
なので(A),(B)を加えて2で割れば

a=(α+α~)/2 …(C)

(A)から(B)を引いて2で割れば

ib=(α-α~)/2= …(D)
または
b=-i(α-α~)/2= …(D')

基本的には(C),(D)のa,ibを代入すれば、どの式もαとα~で表すことが出来ます。
後は式を整理するだけです。

>3ia^2 - abを例にお願いします。

3ia^2 - ab = (3ia-b)a = i{3(2a)+i2b}(2a)/4
= i{3(α+α~)+(α-α~)}(α+α~)/4 = i(4α+2α~)(α+α~)/4
=i(2α+α~)(α+α~)/2 …(※)

これでも良いですが、
更に括弧を展開して
=i(2α^2+3αα~+α~^2)/2
や
=iα^2 +iα~(3α+α~)/2
でも良いでしょう。

上のやり方は代入しやすい 2a,2ib(または2b)を作っておいて代入する方法ですが
直接a,bを代入しても良いでしょう。

3ia^2 - ab
=3i{(α+α~)^2}/4 -{(α+α~)/2}{-i(α-α~)/2}
=(i/4){3(α+α~)^2+(α+α~)(α-α~)}
=(i/4){3(α+α~)+(α-α~)}(α+α~)
=(i/4)(4α+2α~)(α+α~)
=i(2α+α~)(α+α~)/2　…(※)
上の解法の(※)の式と同じ。
式の纏め方は上と同様、いずれかで良いでしょう。

お礼

お礼、遅れました。
aとbを作っておけばよかったんですね。
素晴らしい回答です。
私は1+iと1-iのグラフ(上斜め45度と下斜め45度)を描いて、これらの加減乗除で答えが出るかも、と必死に考えていました。(^^ゞ
ありがとうございました！