数Iの内容

質問

数Iの内容

三角形において、角の大小と対辺の大小は一致するとあるのですが、それがどうしてかわかりません。
（正弦定理と余弦定理について習ったあたりです。）

回答よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

一番わかりやすいのは、正弦定理から導く方法だと思います。

以下、証明方法です。
a/sin(A)＝ b/sin(B)＝ c/sin(C)＝ 2Rより、
a＝ 2R* sin(A)、b＝ 2R* sin(B)、c＝ 2R* sin(C)

となります。
便宜上、A＜ B＜ Cであるとします。

(i) C≦ π/2のとき
0＜ A＜ B＜ C≦ π/2ですから、0＜ sin(A)＜ sin(B)＜ sin(C)≦ 1となります。
よって、a＜ b＜ cとなります。

(ii) π/2＜ Cのとき
sin(C)- sin(A)
＝ 2* cos((C+A)/2)* sin((C-A)/2)　（和積公式）
＝ 2* cos((π-B)/2)* sin((C-A)/2)
＝ 2* sin(B/2)* sin((C-A)/2)

0＜ B/2＜ π/2より sin(B/2)＞ 0
π/2＜ C＜ π、0＜ A＜ π/2より 0＜ C-A＜ π/2となり、sin((C-A)/2)＞ 0

よって、sin(C)＞ sin(A)
角Bについても同様にして、sin(C)＞ sin(A)
角Aと角Bについては、(i)の結果より sin(A)＜ sin(B)
つまり、π/2＜ Cのときも、0＜ sin(A)＜ sin(B)＜ sin(C)＜ 1

π/2＜ B＜ C＜ πとなることはない（三角形にならない）から
(i)、(ii)より A＜ B＜ Cならば、a＜ b＜ cとなる。［終わり］

角Cが鈍角となっても、角Aや角Bの sinの値は sin(C)よりも必ず小さくなります。
（単位円上で角をとってみればわかりやすいと思います。）
ただ、証明の場合は計算で示す方が確実なので、和積の形で示すことになります。
和積公式を習っていないのであれば、単位円上の角度と sinの様子を図示することになるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございました。

丁寧な説明でよくわかりました！

回答No.1

aokii

角の大小と対辺の大小は、対峙する直角三角形からsinθ1+sinθ2ですので，180度の範囲で一致します。

お礼

回答ありがとうございました。