三角形の角度と長さから数式の値を得る問題

質問

三角形ABCがありAの対辺をa、Bの対辺をb、Cの対辺をcとする。
(1)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC
の値を求めよ
(2)a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)と3abcの大小関係を調べよ

この問題にとりくんでいます。
（１）ではA+B+C＝πということを使いながらいろいろな公式を使って変形したのですが目標がよくわからず求められませんでした。
(2)は左の式が余弦定理に出てくる部分(b+c-a)があるので余弦定理を利用しそうなのですが大小比較をどのようにするのかがわかりません。

考える上でのヒントでかまいませんので回答よろしくお願いします

回答No.1

springside · ベストアンサー

とりあえず、(1)を。

A+B+C=πなので、C=π-(A+B)により、
cosC=cos{π-(A+B)}
=-cos(A+B)
=-(cosAcosB-sinAsinB)
=sinAsinB-cosAcosB

よって、

与式=cos^2A+cos^2B+(sinAsinB-cosAcosB)^2+2cosAcosB(sinAsinB-cosAcosB)
=cos^2A+cos^2B+sin^2Asin^2B-2sinAsinBcosAcosB+cos^2Acos^2B+2cosAcosBsinAsinB-2cos^2Acos^2B
=cos^2A+cos^2B+sin^2Asin^2B-cos^2Acos^2B
=cos^2A+sin^2Asin^2B+cos^2B(1-cos^2A)
=cos^2A+sin^2Asin^2B+cos^2Bsin^2A
=cos^2A+sin^2A(sin^2B+cos^2B)
=cos^2A+sin^2A
=1

回答No.2

mister_moonlight

(2)
問題からは、(1)に関連づけた段階式の設問とは見受けられませんでした。
従って、(2)単独で解きましたが、途中の計算が煩雑なので、余りスマートな方法ではないです。

b+c-a＝x、c+a-b＝y、a+b-c＝zと置くと、三角形の成立条件から、x＞0、y＞0、z＞0　‥‥(1).
又、2辺ずつ加えると、2c＝x＋y、2b＝x＋z、2a＝y＋z‥‥(2).

Ｐ＝a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)＝(1/4){x(y+z)＾2＋y(z+x)＾2＋z(x+y)＾2}
Ｑ＝3abc＝(3/8)(x+y)(y+z)(z+x)

Ｐ-Ｑ＝9xyz-(x+y+z)(xy+yz+zx)　‥‥(3)

(1)より、相加平均・相乗平均を使うと
x+y+z≧3(3)√(xyz)、xy+yz+zx≧3(2/3)√(xyz)。この2つを掛け合わせると、9xyz≦(x+y+z)(xy+yz+zx)。
よって、Ｐ≦Ｑ　(等号成立は、x＝y＝z、即ち、a＝b＝cの時)

＃　(3)の計算は、対称式になる事を予想して、x＋y＋z、xy＋yz＋zx、xyzを置き換えると比較的簡単にいきます。