半直線同士で囲まれたAOB があります。∠AOB＝15°このAOB内に

質問

半直線同士で囲まれたAOB があります。∠AOB＝15°このAOB内に光源Pをとり、光をOB→ OAで反射させます。OA　OBでは、それぞれ別に、同じ角度で反射するとき、最大何回反射おこりますか？
また、最大反射回数より2回反射がすくないとき、∠AOBのとりうる範囲は何度ですか

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

最大反射回数は
12
回です
n回目に反射した点をQ_n
最初の入射角∠PQ_1B
0°<∠PQ_1B<15°
最後の反射方向点R
とすると
0°< ∠PQ_1B=∠Q_2Q_1O <15°
15°< ∠AOB+∠Q_2Q_1O=∠Q_1Q_2A=∠Q_3Q_2O <30°
30°< ∠AOB+∠Q_3Q_2O=∠Q_2Q_3B=∠Q_4Q_3O <45°
45°< ∠AOB+∠Q_4Q_3O=∠Q_3Q_4A=∠Q_5Q_4O <60°
60°< ∠AOB+∠Q_5Q_4O=∠Q_4Q_5B=∠Q_6Q_5O <75°
75°<∠AOB+∠Q_6Q_5O=∠Q_5Q_6A=∠Q_7Q_6O <90°
75°< 180-∠AOB-∠Q_7Q_6O=∠Q_6Q_7O=∠Q_8Q_7B <90°
60°< ∠Q_8Q_7B-∠AOB=∠Q_7Q_8O=∠Q_9Q_8A <75°
45°< ∠Q_9Q_8A-∠AOB=∠Q_8Q_9O=∠Q_10Q_9B <60°
30°< ∠Q_10Q_9B-∠AOB=∠Q_9Q_10O=∠Q_11Q_10A <45°
15°< ∠Q_11Q_10A-∠AOB=∠Q_10Q_11O=∠Q_12Q_11B <30°
0°< ∠Q_12Q_11B-∠AOB=∠Q_11Q_12O=∠RQ_12A <15°

お礼

詳しくおしえていただきありがとうございました。

回答No.3

alice_44

陳謝と訂正 :
いや、有限回でしたね。

光線が反射する度に、その鏡を軸に
図形全体を線対称移動して考えると、
光路は直線に、鏡面は点 O を中心に 15゜おきの
放射線状に移ります。
反射回数は、直線と放射線との交点数になる。

∠AOB=θ、光線の最初の鏡面への入射角をφ
とすると、反射回数は、
(θ+φ+π/2)/θ 未満で最大の自然数となります。

回答No.2

Kules

まず、１つ言えるのは
・外向き(Oから遠ざかる向き)に進んでいる光の反射角が90°-∠AOB(=75°、∠AOBが15°の時)を超えると、もう次に反射することはない
ということだと思います。(例えばOA上で反射して、反射角が75°ならそこからさらに進んでもOBからは遠ざかったいくだけ)
なので、次に考えるべきは、
・ある地点での反射角がαの時、次の点での入射角(=反射角)がいくらか(αで表わすとどのような式になるか)？それは、内向き(Oに近付く向き)と外向き(Oから遠ざかる向き)で違う式なのか
ということになります。これを出すことができれば、初期値αを与えれば漸化式的に計算することができ、外向きに進んでる時反射角が75°以上になる時までは反射が起こると考えられるので。

ということで外向きだけ書いときます。内向きも同じように計算できると思います。

ある地点での反射点をM(OA上)反射角をα、次の反射点をN(OB上)とする。
△OMNにおいて外角の定理より、∠MON+∠ONM=∠NMB⇔∠ONM=∠NMB-∠MON
∠NMB=90°-α、∠MON=15°より∠ONM=75°-α
よって、Nでの入射角(=反射角)は90°-∠ONM=15°+α
つまり、外向きに進んでいる限りは例え最初の入射角が0°であったとしても、反射角は
0°→15°→30°→…と増えていき、75°になった時点で次の反射は起こらなくなります。
おそらく内向きに進んでいる時は入射角がどんどんへっていくような式になると思うので、
そこから最大反射回数を出せばいいかと。おそらくですが∠AOBが15°なら11回前後になるんじゃないかと思います。

上ではαと書きましたが、数列っぽくすると
n回目の反射角をα(n)とし、α(n+1)をα(n)で表わすみたいにすると
より一般的な感じで解けると思います。

以上、参考になれば幸いです。

回答No.1

alice_44

最大反射回数って、何でしょう？
光源 P の位置や、ビームの発射方向によらず、
光線は、有限回の反射の後に、
点 O から遠ざかり始めますが、
OA, OB が半直線であれば、いづれにしろ
無限回反射し続けます。