図形の問題です。教えてください！

質問

半径１０、中心角∠ＡＯＢ＝２π/３の扇形ＯＡＢがある。
弧ＡＢ上（ただし、両端を除く）に点Ｐをとり、点Ｐを通り半径ＯＡに平行な直線
と半直線ＯＢとの交点をＱとして∠ＰＯＱ＝θとする。
∠ＯＰＱ＝２π/３－θより、三角形ＯＰＱに正弦定理を適用することで
ＯＱ＝□sinθ/√□＋□cosθと表せる。
次に三角形ＯＰＱの面積をＳとするとＳ＝□（sinθcosθ＋sin＾２θ/√□）となり、
（□/√□）×（√□sin2θ－cos２θ＋□）と表せる。

なのでＳはθ＝□π/□のとき、最大値□√□をとる。

解き方が分かりません。
詳しく教えてもらえたらうれしいです。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞半径１０、中心角∠ＡＯＢ＝２π/３の扇形ＯＡＢがある。
＞ 弧ＡＢ上（ただし、両端を除く）に点Ｐをとり、点Ｐを通り半径ＯＡに平行な直線
＞ と半直線ＯＢとの交点をＱとして∠ＰＯＱ＝θとする。
図を描いてください。

＞ ∠ＯＰＱ＝２π/３－θより、
∠POA＝(2π/3)－θで、OA//PQだから、錯角が等しいから、
∠OPQ＝∠POA＝(2π/3)－θ

＞三角形ＯＰＱに正弦定理を適用することで
＞ ＯＱ＝□sinθ/√□＋□cosθと表せる。
∠PQO＝π－θ－{(2π/3)－θ}＝π/3
正弦定理より、
OQ/sin∠POQ＝OP/sin∠PQOより、OQ＝sin{(2π/3)－θ}・10/sin(π/3)
加法定理より、
sin{(2π/3)－θ}＝sin(2π/3)cosθ－cos(2π/3)sinθ
＝(√3/2)cosθ－(-1/2)sinθ
＝(1/2){√3cosθ＋sinθ}　だから、
よって、
OQ＝(1/2){√3cosθ＋sinθ}・10・(2/√3)
＝(10sinθ/√3)＋10cosθ

＞ 次に三角形ＯＰＱの面積をＳとするとＳ＝□（sinθcosθ＋sin＾２θ/√□）となり、
＞ （□/√□）×（√□sin2θ－cos２θ＋□）と表せる。
面積の公式より、
S＝(1/2)・OP・OQ・sin∠POQ
＝(1/2)・10・{(10sinθ/√3)＋10cosθ}・sinθ
＝50{sinθcosθ＋(sin^2θ/√3)}

２倍角の公式より、
sin^2θ＝(1/2)(1－cos2θ)，sinθcosθ＝(1/2)sin2θだから、
S＝50[(1/2)sin2θ＋{(1/2)(1－cos2θ)/√3} ]
＝50/(2・√3)・(√3sin2θ－cos2θ＋1)
＝(25/√3)×(√3sin2θ－cos2θ＋1)

＞なのでＳはθ＝□π/□のとき、最大値□√□をとる。
合成の公式より、
√3sin2θ－cos2θ＝2sin{2θ－(π/6)}
S＝(25/√3)×[2sin{2θ－(π/6)}＋1]

θの条件（点Pの位置の条件）から、
0＜θ＜2π/3より、0＜2θ＜4π/3
-π/6＜2θ－π/6＜7π/6　……(*)だから、単位円より、
-1/2＜sin{2θ－(π/6)}≦1

-1＜2sin{2θ－(π/6)}≦2
0＜2sin{2θ－(π/6)}＋1≦3
0＜S≦(25/√3)・3＝25√3　だから、
sin{2θ－(π/6)}＝1のとき、最大値25√3をとる。
(*)より、2θ-(π/6)＝π/2より、θ＝π/3

公式がいろいろ使われているので確認してください。

回答No.2

info22_

図を描くと理解しやすいので必ず図を描いてください。

△OPQに正弦定理を適用して
OQ/sin(2π/3-θ)=10/sin(π/3)
OQ=10sin(2π/3-θ)/sin(π/3)
=10((√3/2)cosθ+(1/2)sinθ)/(√3/2)
=(10sinθ/√3)+10cosθ

△OPQの面積S=OPsin(2π/3-θ)*(OPcos(2π/3-θ)+OQcos(π/3))/2
=5sin(2π/3-θ)*(10cos(2π/3-θ)+(5sinθ/√3)+5cosθ)
=25sin(2π/3-θ)*(2cos(2π/3-θ)+(sinθ/√3)+cosθ)
=(25/2)*(√3cosθ+sinθ)*(2cosθcos(2π/3)+sinθsin(2π/3)+(sinθ/√3)+cosθ)
=(25/2)*(√3cosθ+sinθ)*(-cosθ+√3sinθ+(sinθ/√3)+cosθ)
=(25/2)*(√3cosθ+sinθ)*(4sinθ/√3)
=50(sinθcosθ+sin^2(θ)/√3)

2倍角の公式を適用して
S=(25/√3)*(√3*sin(2θ)-cos(2θ)+1)
と表せる。

三角関数の合成公式を適用して
S=(25/√3)*(2sin(2θ-π/6)+1)
となる。

0≦θ≦2π/3より　-π/6≦2θ-π/6≦7π/6 であるから

2θ-π/6＝π/2 すなわち θ＝π/3のとき、

　Sの最大値＝(25/√3)*(2+1)＝25√3

をとる。

以上から、□に入る数値を拾ってください。

お礼

回答してくださった皆様、ありがとうございます。
もう一度、自分で出来るようにします。