行列式

質問

行列式
(x-6 3 7 )
(1 x-2 -1 )
(-5 3 x+6)

のような行列式を解くコツ、みたいなのもはありますか？？

行列の対角化の課程でこのような行列式が必ず出てくると思うのですが、うまい解き方みたいなのはありますか？？

行列式の因数分解がどうも苦手です。。。

ちなみに上の行列式は
(x+1 3 7 )
(0 x-2 -1 )
(0 0 x-1)
となり、(x-1)(x+1)(x-2)となるようです。。。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

定理1.
行列式のある行に他の行の定数倍をかけて加えても行列式の値は変わらない、
(a11 a12 a13) (a11+ma12 a12 a13)
(a21 a22 a23) = (a21+ma22 a22 a23)
(a31 a32 a33) (a31+ma32 a12 a33)

定理２.
行列式のある列に他の列の定数倍をかけて加えても行列式の値は変わらない、
(a11 a12 a13) (a11 a12 a13 )
(a21 a22 a23) = (a21 a22 a23 )
(a31 a32 a33) (a31+ma11 a12+ma12 a33+mz13)

問題
(x-6 3 7 )
(1 x-2 -1 )
(-5 3 x+6)

対角成分より下の部分が0になるように上の定理を使います。
a21を0にするため、定理1により第３行を第1行に加える
(x+1 3 7 )
(0 x-2 -1 )
(x+1 3 x+6)

a31を0にするため定理２により第３列を引く
(x+1 3 7 )
(0 x-2 -1 )
(0 0 x-1)

a32も0になったのはたまたまです。ふつうはここを0にするためもう一回
定理を使って計算します。

回答No.2

alice_44

特性方程式を展開する際に、この例のように、
基本変形でキレイに計算できることは、かなり稀。
大概は、x が邪魔をして、途中計算は煩瑣になる。
３次程度のサイズであれば、余因子展開を勧める。

｜ x-6　　3　　7　 ｜
｜ 1　　x-2　　-1　｜
｜ -5　　3　　x+6　｜= (x-6)A - 3B + 7C

A =
｜ x-2　　-1　｜
｜ 3　　x+6　 ｜

B =
｜ 1　　-1　　｜
｜ -5　　x+6　｜

C =
｜ 1　　x-2　 ｜
｜ -5　　3　　｜