微分積分の問題です。

質問

微分積分の問題です。
全然わからずかなり行き詰っています。
どなたか解答をお願いします。
問題が見辛くてすみませんがよろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
V開⊂R
a∈f^{-1}(V)
f(a)∈V
∃ε>0({y||y-f(a)|<ε}⊂V)
x∈{x||x-a|<ε}
→|f(x)-f(a)|≦(1/2)|x-a|<ε/2≦ε
→f(x)∈V
→{x||x-a|<ε}⊂f^{-1}(V)
→f^{-1}(V)開
→fは連続

(2)
P(n)=(|x_{n+2}-x_{n+1}|≦(1/2^n)|x_2-x_1|),S={n∈N|P(n)は真}とすると
P(1)=(|x_3-x_2|≦(1/2)|x_2-x_1|)は真→1∈S
k∈Sを仮定すると
|x_{k+1}-x_k|≦(1/2^{k-1})|x_2-x_1|
|x_{k+2}-x_{k+1}|=|f(x_{k+1})-f(x_k)|≦(1/2)|x_{k+1}-x_k|≦(1/2^k)|x_2-x_1|
→k+1∈S→N=S→
任意のnに対してP(n)は真だから
n≧2に対して　|x_{n+1}-x_n|≦(1/2^{n-1})|x_2-x_1|

(3)
∀ε>0→
∃n_0>max(1,|x_2-x_1|/ε)+2
m>n>n_0→|x_m-x_n|≦Σ_{k=n～m-1}|x_{k+1}-x_k|≦Σ_{k=n～m-1}(1/2^{k-1})|x_2-x_1|≦|x_2-x_1|/2^{n-2}<ε
→{x_n}_{n=1～∞}は実数のコーシー列だから収束する

(4)
α≠f(α)を仮定すると
|α-f(α)|=ε>0→∃n_0(n>n_0→|x_n-α|<ε/3,|x_n-f(x_n)|=|x_{n+1}-x_n|<ε/3)
|α-f(α)|≦|α-x_n|+|x_n-f(x_n)|+|f(x_n)-f(α)|≦ε/3+ε/3+(1/2)|x_n-α|<ε=|α-f(α)|
矛盾だから
α=f(α)

(5)
x=f(x),y=f(y)
|x-y|=|f(x)-f(y)|≦(1/2)|x-y|
→|x-y|≦0
→x=y

お礼

ありがとうございます^^　今日さっそく答え合わせしてみます。
本当に助かりました。

回答No.1

Tacosan

これらの問題, 特に (1) が「全然わからない」ということだと, よしんば解答を書いたとしてもあなたにとっては「その解答をまったく理解できずただコピーするだけ」になりませんかね.
基礎から再確認してください.