微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+

質問

微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+x^4=∫(範囲は0~x)f(t)dt,f(0)=0 これが解けなくて悩んでいます。 どなたか解き方を教えてください！ よろしくお願いします！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0～x)f(t)dt…(1)
初期条件
f (0)=0　…(2)
(1)でx=0とおくと
f'(0)=0 …(3)

(1)を微分
f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x)
移項して整理すると
f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3　…(4)

(4)の斉次方程式の一般解f1(x)
f"(x)+4f '(x)-f(x)=0
s^2+4s-1=0
s=-2±√5
f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t　…(5)

(4)の特殊解f2(x)
ｆ2(x)=ax^3+bx^2+cx+d　…(6)
とおき(4)に代入
6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3

(4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0

xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。
a=4,b=48,c=408,d=1728
(6)に代入
f2(x)=4(x^3+12x^2+102x+432)　…(7)

(4)の一般解は
f(x)=f1(x)+f2(x)
=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t+4(x^3+12x^2+102x+432) …(8)

初期条件(2),(3)から
f(0)=c1+c2+1728=0
f'(0)=(-2+√5)c1+(-2-√5)c2+408=0
これらをc1,c2について解けば
c1=-(1932（√5)+4320)/5,c2=(1932（√5)-4320)/5 …(9)

(9)を(8)にに代入すれば(1)の微分方程式の答えが求まる。

お礼

わざわざありがとうございます！
すごく分かりやすかったです！
とっても助かりました(*^^*)

回答No.2

alice_44

F(x) = ∫[t=0～x] f(t) dt と置くと、問題の方程式は、
F '' (x) + 4 F ' (x) + x^4 = F(x),　F ' (0) = 0　と書ける。
F '' (x) + 4 F ' (x) - F(x) = -x^4　と書いたほうが見やすいか。
また、一行目の式に x=0 を代入して、F(0）= 0 も判る。

F '' (x) + 4 F ' (x) - F(x) = -x^4　に四次多項式の特殊解が
ありそうなことは、すぐ見当が付く。
F(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E　と置いて代入してみると、
(-A)x^4 + (-B+16A)x^3 + (-C+12B+12A)x^2 + (-D+8C+6B)x + (-E+D+2C) = -x^4。
係数比較して、
-A = -1,
-B + 16A = 0,
-C + 12B + 12A = 0,
-D + 8C + 6B = 0,
-E + D + 2C = 0。
よって、A = 1, B = 16, C = 204, D = 1728, E = 2136。
したがって、F(x) = x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136 という解がある。

そこで、G(x) = F(x) - (x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136) と置くと、
G '' (x) + 4 G ' (x) - G(x) = 0,　G(0) = -2136,　G ' (0) = -1728。

G の微分方程式は、斉次線型だから、型通りに解ける。
特性方程式 λ^2 + 4 λ - 1 = 0 を解いて、λ = -2±√5。
よって、G の一般解は G(x) = P e^((-2+√5)x) + Q e^((-2-√5)x) だから、
初期条件より、P + Q = -2136,　(-2+√5)P + (-2-√5)Q = -1728。
この一次方程式を解いて、P = -1068 - 600√5,　Q = -1068 + 600√5。

以上より、
F(x) = (-1068 - 600√5)e^((-2+√5)x) + (-1068 + 600√5)e^((-2-√5)x) + (x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136)。
微分して、
fx) = (-864 + 132√5)e^((-2+√5)x) + (-864 + 132√5)e^((-2-√5)x) + (4x^3 + 48x^2 + 408x + 1728)

計算ミスが無いといいな…

お礼

回答ありがとうございます！
細かい計算まで…感謝です!(>_<)
本当にありがとうございました！

回答No.1

Anti-Giants

(#)f' + 4f + x^4 = int[0,x]fdt, f(0) = 0.
まず、f'(0) = 0.

(#)を微分すると
f" + 4f' + 4x^3 = f.
整理して
f" + 4f' -f = -4x^3.
これは、普通に解ける。
そして、f'(0) = 0, f(0) = 0の初期値を満たすように定数を決定。

お礼

迅速な回答、ありがとうございます！
頑張って解きます、ありがとうございました！！