微分方程式の初期問題の解き方

質問

全部で10問の微分方程式の初期問題を解け、という課題なんですが、全く方針が立ちません。というのも、授業で教授が全く例題を解いていないので何から手を付けてよいのやらわからないのです。
x ' '+2x '+2x=6exp(-2t) -2exp(-t)
x(0)=0,x '(0)=2
という似たような問題が10問あるんですが、この問題だけ解いてみていただけませんか？解き方さえわかればあとは自分で解くので。せめて方針だけでも教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

x 'はxの一階微分、x ' 'は二階微分、exp(-t)は、eの-t乗のつもりです。表記の仕方が正しいのかわかりませんが(^^;)

回答No.6

noname#101087 · ベストアンサー

>一般的に考えて、こういう形のどんな問題でも問題文の右辺【6exp(-2t) -2exp(-t)】に、【C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t)】を足したものが解になる、と考えていいのでしょうか？

誤記があったため当方も混乱しました。ごめんなさい。

【6exp(-2t) -2exp(-t)】は誤記、【3exp(-2t) -2exp(-t)】が正しいようです。
(元の左辺へ代入すれば、検算できます。右辺が指数関数の場合、#2 さんが示されたように、
aexp(-2t)+bexp(-t) を特別解として元の左辺へ代入して、a,b を算定できるのです)
この誤記個所を訂正すれば、上記引用に対する答えは「そのとおり！」です。

(参考ページを飛ばし読みするとわかるように、
　　特別解 {3exp(-2t)-2*exp(-t)} は、x''+2x'+2x=6exp(-2t)-2exp(-t) を満たす解の一つ
　　基本解 {C1*exp(r1*t)+C2*exp(r2*t)} は、x''+2x'+2x=0 を満たす解(積分定数みたいなもの)
　　{基本解＋特別解} が、x''+2x'+2x=6exp(-2t)-2exp(-t) を満たす一般解
という感じです。
そして、初期条件は一般解に適用します)

お礼

ありがとうございました！わかりやすく説明していただけて、非常に助かりました。あと９問、頑張ってみます。本当にありがとうございました！

回答No.5

noname#101087

http://www9.ocn.ne.jp/~kohi-phy/suu/de/de.html
を見て、当方の用語ミスに気づきました。

　C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t)　は基本解、
　6exp(-2t) - 2*exp(-t)　特別解、
でした。(一般解＝基本解＋特別解)

初期条件は、一般解に適用します。

回答No.4

noname#101087

>特性方程式が複素数解r=a+ib,a-ibを持つとき、
>２、y(t)=C1exp(at)cos(bt)+C2exp(at)sin(bt) と書いてあったんですが

混乱する必要、ありません。
r1 と r2 とは共役なので C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t) を
　C1exp(at)cos(bt)+C2exp(at)sin(bt)
と変形できるのです。

どちらでも良いので、初期条件を入れれば同じ結果になるはず。

補足

すみません、さらにわからなくなりました。
疑問１つ目、けっきょく＃３の補足に書いた答えは間違っているのでしょうか？

疑問２つ目、
x(t)=a*exp(-2t)+b*exp(-t)+f(t)
と置いた、f(t)の部分が
f(t)=C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t)
となって対応していると考えればいいのでしょうか？

これだけお願いできますでしょうか？何度もすみません。

回答No.3

noname#101087

>x(0)=0, x'(0)=2

#2 さんの特解と、coup さんが示された一般解から、
　　x(t)=C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t) + 6exp(-2t) - 2*exp(-t)　----　r1=(-1+i), r2=(-1-i)

これを微分して、
　　x'(t)=r1*C1*exp(r1*t) + r2*C2*exp(r2*t) - 12exp(-2t) + 2*exp(-t)

これに初期条件{x(0)=0, x'(0)=2} を適用し、未定係数(C1,C2)を算定してみてください。

補足

頭がこんがらがってきました・・・。

x(t)=a*exp(-2t)+b*exp(-t)+f(t)　で、a=3、b=-2だから
x(t)=3exp(-2t)+(-2)*exp(-t)+f(t)

f(t)=-exp(-t)cos(t)+5exp(-t)sin(t)　だから、x(t)にf(t)を代入して

x(t)=3exp(-2t)+(-2)*exp(-t)-exp(-t)cos(t)+5exp(-t)sin(t)

というのは間違っているのでしょうか？

あと、＃２さんの示されたURLには、
特性方程式が相異なる実数解r1、r2を持つとき、
　１、y(t)=C1exp(r1*t)+C2exp(r2*t)
特性方程式が複素数解r=a+ib,a-ibを持つとき、
　２、y(t)=C1exp(at)cos(bt)+C2exp(at)sin(bt)
と書いてあったんですが、
★特性方程式、t^2+2t+2=0を解いて、t=-1+i、-1-i
だから複素数解であり、２を適用するというわけではないのでしょうか？178tallさんの示された解にはsin、cosは見当たらないようなんですが・・・。

『#2 さんの特解と、coup さんが示された一般解から、』
#2 さんの特解、coup さんが示された一般解というのはどれを指しているのですか？特解がa=3,b=-2、一般解がt=-1+i、-1-iですか？

『x(t)=C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t) + 6exp(-2t) - 2*exp(-t)』
＃１でも
『x=C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t) + a1*exp(-2t) + a2*exp(-t)の形になりそう。』
とありましたが、なぜこの形になりそう、と考えられるのでしょうか？
一般的に考えて、こういう形のどんな問題でも問題文の右辺【6exp(-2t) -2exp(-t)】に、【C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t)】を足したものが解になる、と考えていいのでしょうか？

至らぬ点が多く、頼ってばかりのようで申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.2

age_momo

基本的には#1さんと同じなのですが、
質問者さんは斉次なら解けるのでしょうか？

y"(t) + py'(t) + qy(t) = 0

の形です。この解法を知っているのなら

x=ae^(-2t)+be^(-t)+f(t)

と置くと

x'=-2ae^(-2t)-be^(-t)+f'(t)

x”=4ae^(-2t)+be^(-t)+f”(t)

x”+2x'+2x=(4-4+2)ae^(-2t)+(1-2+2)be^(-t)+f”(t)+2f'(t)+2f(t)

=2ae^(-2t)+be(-t)+f”(t)+2f'(t)+2f(t)=6e^(-2t)-2e^(-t)

より、a=3,b=-2,

f”(t)+2f'(t)+2f(t)=0

で、最初に書いた斉次の線形常微分方程式を解くことになると思います。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-11.pdf

補足

アドバイスありがとうございます。心配なので考え方だけざっと見て「あってます」の一言でもいいのでお返事いただけたら非常にありがたいです・・・。ほとんど知識が無かったので＃２さんの参考URLで勉強してみたんですが、
＃２さんの回答より、
f”(t)+2f'(t)+2f(t)=0　となるから、

特性方程式、t^2+2t+2=0を解いて、t=-1+i、-1-i　だから、

(下記は定理として利用してもいいのでしょうか？)

f(t)=C1*exp(-t) cos(t) + C2*exp(-t) sin(t)　と書ける。これを微分して、
f(t)’=長々

初期条件、x(0)=0よりf(0)=-1、x(0)’=2よりf(0)’=6　である。
ゆえにf(t)=-exp(-t) cos(t) + 5exp(-t) sin(t)

したがって、x=aexp(-2t)+b(-t)+f(t)　に
a、b、f(t)を代入して答えで大丈夫でしょうか？

回答No.1

noname#101087

>x ''+2x '+2x=6exp(-2t) -2exp(-t)
>x(0)=0, x '(0)=2

解は
　　x=C1*exp(r1*t) + C2*exp(r2*t) + a1*exp(-2t) + a2*exp(-t)
　　(rは、r^2+2r+2 の零点。C1,C2 は未定係数、a1,a2 は既定係数)
の形になりそう。
これに初期値条件を適用して、未定係数(C1,C2)を確定する。

フォローしてみてください。

補足

アドバイスありがとうございます。心配なので考え方だけざっと見て「あってます」の一言でもいいのでお返事いただけたら非常にありがたいです・・・。ほとんど知識が無かったので＃２さんの参考URLで勉強してみたんですが、
＃２さんの回答より、
f”(t)+2f'(t)+2f(t)=0　となるから、

特性方程式、t^2+2t+2=0を解いて、t=-1+i、-1-i　だから、

(下記は定理として利用してもいいのでしょうか？)

f(t)=C1*exp(-t) cos(t) + C2*exp(-t) sin(t)　と書ける。これを微分して、
f(t)’=長々

初期条件、x(0)=0よりf(0)=-1、x(0)’=2よりf(0)’=6　である。
ゆえにf(t)=-exp(-t) cos(t) + 5exp(-t) sin(t)

したがって、x=aexp(-2t)+b(-t)+f(t)　に
a、b、f(t)を代入して答えで大丈夫でしょうか？