積分 integrate(((1-x^2)^(1/2))/x, x); について

質問

積分　((1-x^2)^(1/2))/x)dx
の計算方法を教えてください。

(1-x^2)^(1/2)をtとおいて置換積分したのですが途中で進まなくなってしまいました。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

置換積分の手順としては
[1]xの式をtでおく(t=f(x)の形にする)
[2]どちらかで微分する
の後にたまに
[3]xをtで表わす
が入って来るときがあります。
今回の場合
(1-x^2)^(1/2)をt
とおくと、
dt/dx=-x/(1-x^2)^(1/2)
より
dx=-(1-x^2)^(1/2)/x*dt
となりますので、
元の積分は
integrate(-(1-x^2)/x^2,dt)
となるはずです。ここで、
[3](1-x^2)^(1/2)=tよりx^2=1-t^2なので
integrate(-t^2/(1-t^2),t);
となります。あとは分数式の積分をする時の手順に沿っていけば
解けそうです。
(分母と分子の次数が同じか分子の方が大きい→整式の割り算をする
分母より分子の方が１つ次数が小さい→{log(f(x))}'=f'(x)/f(x)を利用する
その他→部分分数分解とか使う)

ただ何かめんどくさそうですね…もっといい置換があるかもです。
またほぼ暗算で書いてるので符号などは間違っているかも知れません。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

詳しく、ありがとうございました。よく分かりました！

回答No.2

nag0720

x=sint　と置いたら。

お礼

簡単に溶けました。ありがとうございました。