２次関数

質問

どうしても分からない問題があるので教えください；
「f(x)=x^2 - (a+1)x + a^2 + a - 1(aは定数)がある。
　-1≦x≦3におけるf(x)の最大値をＭ、最小値をｍとする」
(1)y=f(x)のグラフの頂点を求めよ
(2)Ｍをａを用いて表せ
(3)a>0のとき、Ｍ - 4m =0となるようなaの値を求めよ

という問題なのですが、全部分かりません；
(1)は平方完成すればいいんですよね？
y={x^2 - (a+1)x + (a^2 + 2a + 1)/4}-(a^2 + 2a + 1)/4 + a^2 + a - 1とすればいいのでしょうか？
(2)は場合分けして考えるんですか？
(3)は全く分かりません；
ご面倒でしょうが、よろしくおねがいします。

回答No.6

debut · ベストアンサー

No1です。
＜場合分けについて＞
　　この問題のように、ｘの範囲が決定していて、頂点が移動できる放物線
　　において最大・最小を考える場合は、その範囲内でのグラフの形で
　　場合分けし、判断していきます。
　　これを問題について考えてみましょう。ご存知のように、放物線は
　　軸について対称ですから、グラフの頂点が-1≦x≦3のちょうど中央、
　　つまり、x=1のところにある場合、この範囲内における最大値はf(-1)
　　とf(3)で値が等しくなり（グラフの左端と右端が同じ高さ）ます。
　　頂点がx=1よりちょっとでも左にずれれば、最大値はf(3)だけになり
　　（グラフの右端の方が高い）、頂点がx=1よりちょっとでも右にずれれ
　　ば、最大値はf(-1)だけになり（グラフの左端の方が高い）ます。つま
　　り、範囲の中央を境にして最大値が変わるわけです。
　　したがって、場合分けはこのx=1を境にして考えることになります。

　　１．頂点のｘ座標が１より小さいとき→(a+1)/2＜１つまり a ＜１のとき
　　　　最大値はf(3)
　　２．頂点のｘ座標が１以上のとき→１≦(a+1)/2つまり１≦ a のとき
　　　　最大値はf(-1)

　　と２通りに分けられます。
　　なお、最小値もからんでくる場合は、No1で示したような４通りになり
　　ます。こちらも考えてみてください。

お礼

２度もすみません；
最大値と最小値の問題で、分け方が違うんですね！
ありがとうございました!!

回答No.5

endlessriver

＃４です。わたしの計算によると
A=f(-1)=(a+1)^2=a^2+2a+1, B=f(3)=a^2-2a+5
となります。
頂点が(-1,3)の間にあれば m=f( (a+1)/2 )=(3a^2+2a-5)/4
これからA-4m=0とB-4m=0を解けばよいのですが、これらはaの２次方程式になります。あとはその根を求めればよいです。すなわち、a=（数値）となります。この(数値)が >0 であるものを取れば良いのです。

お礼

２度もすみません；ありがとうございました!!

回答No.4

endlessriver

（２）最大値はx=-1かx=3のいずれかです。したがって、このときの値の差の正負を調べればよい。何故そうなるかは他の方のように頂点のＸ座標がｘ≦－１、－１＜ｘ＜３、ｘ≧３にわけて議論すればよいです。
（３）これはa＞0だから頂点の座標(a+1)/2＞1/2となり、場合分けは少なくなりますね。
Aをx=-1のときの値、Bをx=3のときの値とする。
a)頂点が(-1,3)の中にあればAかBが最大値になるからA-4m=0, B-4m=0を計算してa>0を満たすものをとればよい（解は双方にあるようです。当然、x=1で左右対称ですから）。
b)a>0より、頂点のｘ座標＞1/2だから、残りは頂点のｘ座標が≧３のときなので、m=Bとなり、A-4B=0 を計算すればよいです。がこれは解ではないようです。

お礼

ありがとうございました！
(3)、とても分かりやすいです！

補足

あの、(3)は(a)のとき、A-4m=0　　　　B-4m=0
　　　　　　　　　　　a^2-1-4m=0　　a^2-2a+5
となりますよね？
ここからどうやってa>0を判断すればよいのでしょうか？

回答No.3

kouhukudou

f(x)=x^2-(a+1)x+a^2+a-1（aは定数）
f(x)={x-(a+1)/2}^2-(a^2+2a+1)/4+a^2+a-1
={x-(a+1)/2}^2+(3a^2+2a-5)/4 ←平方完成するとこの式になります。
この式からこの二次関数の頂点は（(a+1)/2,(3a^2+2a-5)/4)であると分かります。
これで（１）の答えが分かりました。

（２）ではおっしゃるように場合わけが必要です。
ヒント：二次関数は「∪」こんな形をしていますね。だから、-1≦x≦3の範囲での最大値を求めようとすると、頂点のx座標が2より小さいときはx=3のとき、2のときはx=-1およびx=3のとき、2より大きいときはX=-1のときになるからです。
それぞれの場合についてf(x)に代入して値を求めます。

すみません、眠くなったので、今日はこのへんで・・・。
明日起きてからまだ解決していなければまた書き込みますね。
上記回答で分からないところがあれば、補足でもう一度質問してください。
寝ぼけているので計算ミスなどがあったらごめんなさい(-．-）ではおやすみなさい。

補足

ありがとうございました！
まだ場合分けがよく理解できません；

回答No.2

debut

Ｎｏ１です。
　すみません。訂正。最大値Ｍだけだから、場合分けは
　　頂点のｘ座標が１より大きいか、小さいかだけでした。
　　（２）に書いたのは、最小値も考えたときでした。　すみません。

お礼

ありがとうございました！
場合分けのところがまだよく分かりません；

回答No.1

debut

（１）はその通りです。
（２）（１）で求まった頂点のｘ座標が、
　　　　　　１．－１より小さいとき
　　　　　　２．－１以上１より小さいとき
　　　　　　３．１以上３より小さいとき
　　　　　　４．３以上のとき　　　　と４通りの場合分けをします。
　　　それぞれでグラフをかきましょう。
（３）（２）からａ＞０のところだけで場合わけして考え、ｍもａで表し
　　　て代入すれば求まるでしょう。（各場合でａの範囲に注意）