回転

質問

10円玉2枚用意する。10円玉1枚を机の上に動かないように固定して、もう一枚の方を互いの周が接するように机の上に動きます。固定した10円玉の周に沿って、もう一枚を回転させながら動かす。この際、互いの周は常に接していて、滑ったりはしないとする。もとの位置に戻るまでにこの動かした10円玉は、２回回転したことになるですが、これをベクトルと回転数で説明したいのですが、
できません。教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck

piropiro1さん、こんにちは。面白い問題ですね。
固定された10円玉の中心をO、動く10円玉の中心をO'としてt=0でO, O'はx軸上にあるものとします。t=0で動く10円玉のx軸上の外側にある点をPとし、Pの軌跡を求めます。O'が回転して
　ベクトルOO' = (2a cost, 2a sint)　(aは10円玉の半径)
となったとき、ベクトルOO'に固定された座標軸では10円玉はatの道のりだけ進まなければなりませんから、
　ベクトルO'P = (a cost, a sint)
tだけ回転した座標系でこの成分になりますから、固定した座標系での成分は
　ベクトルO'P = (a cos2t, a sin2t)
となります。したがってtが0から2πまで動く時，O'Pは2回転するという説明で良いのではないでしょうか。
　ベクトルOP = (a(2cost+cos2t), a(2sint+sin2t))
の軌跡はカージオイドと呼ばれているようです。Oから見た時，Pの回転数は1になります。回転数は固定された点の周りを回転する数ですから、O'のように動く点の周りの回転には直接は使えないのではないでしょうか。