座標系の回転の問題です

質問

大学物理入門の問題です
【問題】
空間に固定された座標系Sと、回転している別の座標系S'を考える。座標系S'は、Sに対して角速度ω=Ωi+Ωjで回転しているものとする。ただしこれらの座標系の原点は一致するとする。また、時刻t=0においてこれらの2つの座標系は一致するとする。時刻tにおいて、座標系S'のx'軸、y'軸、z'軸方向の単位ベクトルをそれぞれi'(t)、j'(t)、k'(t)とする。

時刻tにおけるベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)を求めよ

問題は以上です
文中のωはベクトル、i、j、kはそれぞれ座標系Sのx軸、y軸、z軸方向の単位ベクトルです

できれば、ベクトルi'(t)、j'(t)、k'(t)がどのような回転をするのか、図を用いて説明していただけると嬉しいです

どなたか知恵をお貸しください
よろしくお願いします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

座標軸の
回転軸に平行なベクトルを
ω=Ωi+Ωj=(Ω;Ω;0)
とする
|ω|^2=2Ω^2
角速度を
|ω|=Ω√2
とする
回転軸に平行な単位ベクトルは
n=ω/|ω|=(1/√2;1/√2;0)

e_x=(1;0;0)
(n,e_x)=1/√2
e_xの回転軸に平行な成分ベクトルをe_x0とすると
e_x0=(n,e_x)n=(1/2;1/2;0)
e_xの回転軸に垂直な成分ベクトルをe_x1とすると
e_x1=e_x-(n,e_x)n=(1/2;-1/2;0)
回転軸の右周りにe_x1を90°回転したベクトルをe_x2とすると
e_x2=n×e_x1=(1/√2;1/√2;0)×(1/2;-1/2;0)=(0;0;-1/√2)
だから
時刻tにおけるx'軸方向単位ベクトルは
i'(t)
=e_x0+cos(t|ω|)e_x1+sin(t|ω|)e_x2
=(1/2;1/2;0)+cos(t|ω|)(1/2;-1/2;0)+sin(t|ω|)(0;0;-1/√2)
=[{1+cos(t|ω|)}/2;{1-cos(t|ω|)}/2;-sin(t|ω|)/√2]

e_y=(0;1;0)
(n,e_y)=1/√2
e_yの回転軸に平行な成分ベクトルをe_y0とすると
e_y0=(n,e_y)n=(1/2;1/2;0)
e_yの回転軸に垂直な成分ベクトルをe_y1とすると
e_y1=e_y-(n,e_y)n=(-1/2;1/2;0)
回転軸の右周りにe_y1を90°回転したベクトルをe_y2とすると
e_y2=n×e_y1=(1/√2;1/√2;0)×(-1/2;1/2;0)=(0;0;1/√2)
だから
時刻tにおけるy'軸方向単位ベクトルは
j'(t)
=e_y0+cos(t|ω|)e_y1+sin(t|ω|)e_y2
=(1/2;1/2;0)+cos(t|ω|)(-1/2,1/2,0)+sin(t|ω|)(0;0;1/√2)
=[{1-cos(t|ω|)}/2;{1+cos(t|ω|)}/2;sin(t|ω|)/√2]

e_z=(0;0;1)
e_zと回転軸は垂直だから
e_zの回転軸に平行な成分ベクトルは0で
e_zの回転軸に垂直な成分ベクトルはe_zだから
回転軸の右周りにe_zを90°回転したベクトルをe_z2とすると
e_z2=n×e_z=(1/√2,-1/√2,0)
だから
時刻tにおけるz'軸方向単位ベクトルは
k'(t)
=cos(t|ω|)e_z+sin(t|ω|)e_z2
=[sin(t|ω|)/√2);-sin(t|ω|)/√2);cos(t|ω|)]

∴
i'(t)=[{1+cos(t|ω|)}/2;{1-cos(t|ω|)}/2;-sin(t|ω|)/√2]
j'(t)=[{1-cos(t|ω|)}/2;{1+cos(t|ω|)}/2;sin(t|ω|)/√2]
k'(t)=[sin(t|ω|)/√2);-sin(t|ω|)/√2);cos(t|ω|)]

お礼

ありがとうございます
答えもあっていました！
詳しい解法ものせていただき助かりました