コリオリ加速度がもたらすもの：回転筒内の玉

質問

こんにちは、いつも色々と教えて下さり、勉強させて頂いております。
ある物理の例題から、コリオリ加速度を導出することを教科書で習いました。

詳しくは、点線以下の文面と、添付の図をご覧頂ければと思います。
（すみません、本当は図中に文章を挿入した方が分かり易いと思ったのですが、どうもここでアップロードすると解像度が下がって、文字がとても見難くなるため、図には最低限の文字しか入力していません）。

その例題は、次のような状況を解くものです。筒があり、筒の一端が回転軸（回転中心）として筒は回転しています。また、その筒には玉が入っており、玉は筒の中で直線運動しており、筒のもう一端（回転中心ではない端部）に向かって運動しています。図の中で、(3)として記されているコリオリ加速度、これが計算上は求まったものの、その物理的意味、役割、なぜコリオリ加速度が導出されるのか、これがないとどういう運動になるのかが分からず、自分なりに考えてみました。

ただ、この考えが正しいかどうか、間違っているのならどこが間違っているのかを添削できず、皆様に確認して頂ければと思い、投稿させてもらいました。

とても基本的なことを聞いているのではという危惧があるのですが、私なりにここ数日頭を悩ませた末に得た理解でして、どうか宜しくお願い致します。

以下に出された例題と私の考えを書きました。また併せて添付の図をどうかご覧下さい。

分かりづらいようでしたら、書き直しますゆえ、ご指摘下さい。
重ねまして宜しくお願いします。

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[例題の内容です]
図中、点Oを軸として回転している中空の筒（青色）があります。ある時刻において、
赤点Aにあり筒の中を外向きに加速している玉が筒の中に入っています。
短い次の時刻において、球は赤点Eにあったとします。

すると、玉の位置ベクトル~r, 総速度 ~v, 総加速度~aは
図中の三つの式で表されます。

なお、図中のrドット、rダブルドットは玉の線速度、線加速度を表し、
θドット、θダブルドットは角速度ω、角加速度αを表しております。
また、~erベクトルは筒方向（回転の半径方向）の単位ベクトルで　~er = r cosθ+ r sinθ
~eθベクトルは回転軌道の接線方向の単位ベクトルで ~eθ= -r sinθ + r cosθ

[ここから私の考えです、宜しくお願いします]
総加速度を求めるまでが教科書に書いてありましたが、(3)のコリオリ加速度が一体何なのか、物理的意味合いというか、なぜ（３）が必要なのか、(3)がないとどうなるのか、を知りたく、自分なりに考えてみました。どうか以下の私の考察について、添削頂ければと思います。

もし、(2)も(3)もなく(1)しかなかったとすると（(2)がない、というのは筒が回転していないということです）、玉は図の黄色の位置Bにいることになるかと思います。

もし、(1)も(3)もなく(2)しかなかったとすると、玉は図のオレンジの位置Cにることになるかと思います。

さて、(1)も(2)もあるが、(3)がないとすると、玉はどこにいることになるのかを考えました。点Bには到達できますが、点Eには到達できません。なぜなら、(2)だけの効果では弧ACの距離分しか進めません。弧BEは弧ACよりも大きいため、玉は弧BE内のどこかに留まり、点Dのあたりに居ることになるのではと思いました。弧BDの長さは弧ACと等しくなります。

そして、玉をDの留まらせず実際の到達点Eにまでもっていかせているのが、(3)コリオリ力成分、ではないかと考えました。つまり、(1)と(2)だけでは足らない分、弧DEに相当する分をもたらしているのが(3)ではないでしょうか。

いかがでしょうか。どうか添削頂けるととても助かります。宜しくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

回転はあるかないかのどちらかですから，
>(2)も(3)もなく(1)しかなかったとすると
はありえますが，
>(1)も(3)もなく(2)しかなかったとすると
と，
>(1)も(2)もあるが、(3)がないとすると
はありえないと思います。

回転があるということは，
θ' ≠ 0
です。θ''≠0はあり得ますが，(2)と(3)が同時に消失するのは，回転がない場合しかありえませんね？

ちなみに，コリオリ力は（回転系から見た）運動方向に対して垂直（仕事をしない）ですから，円筒の回転が外力によって一定にコントロールされており，筒と玉の間に摩擦力がないのであれば，筒内での玉の運動には影響がありません。

お礼

回答下さりありがとう御座います。
実は図面のアップにてこずり、何度もトライして苦労したため、回答を頂けてとても嬉しいです。

分かり辛いお話ですみません。

今回は、計算していった結果現れた、（３）の成分について図的に納得したい、（３）の成分が現実の世界ではもちろん生じているわけですが、それがもしも無かったら、どうなってしまうのか、それが知りたかったのであります。計算結果で現れたのでしょうがないのですが、AからEに行く玉の軌跡のうち、どう（３）が効いてくるのかを知りたかったのです。そのために、無理やり現実では生じ得ない仮定（(1)も(2)もあるが、(3)がない）を作りました。すると、(1)と(2)の寄与については明確で、ポイントは、「(2)の寄与だけでは、大きな弧BEを描けない」ではないかと思いました。

当初、計算結果で生じた（３）を見たとき、「何だ、何でこれが現れるのだろう」と悩みました。
「筒の中を直線運動して、回転しているのだから、(1)と(2)だけで足りるだろう」と思いました。
でも図を描いてみて、「あぁ、直線運動によって、回転中心から離れているのだから、その分描く弧が大きくなるのか」と思うに至りました。「小さな弧と大きな弧の差分だけ、余計な距離を進めさせる力が筒から玉に掛かっていて、それが（３）の加速度をもたらしているのか」となりました。

もちろん、厳密には、BEの弧を描くわけではなく、AからEに至るまでには、弧に似た曲線を描きながらEに到達すると思います。

いかがでしょうか。
もちろん、他に（３）の成分について何か説明・ヒント・アドバイスなど頂けるとまた勉強になります。

宜しくお願いします。

回答No.4

hitokotonusi

本質的欠落しているだろうと思われるのは，基本ベクトルer, eθが時間とともに変わるという点でしょうか。

ご質問の事例は位置ベクトルの極座標表示なので意味を説明するのが少し面倒な部分がありますので，もう少しシンプルに，物体の運動とは無関係に回転する座標系を考えます。

添付図では，物体がOA方向に一定の速さvで動いています。

時刻tでは物体はA点にあり，この時刻の基準とする方向がOAであったとするとこの時刻の速度はr成分vrがv，θ成分vθは0です。

Δtだけ時間が経過した後，物体はB点にあり，おなじくOA方向(OB方向)に速さvを持っています。
しかしこのときには座標系が回転しているために，基準となる方向がθ回転し，OC方向になっています。
このため，r成分とはこのOC方向の成分であり，θ成分とはOCに垂直な成分です。
わかりやすいように添付図ではB点の速度ベクトルをC点に移動させていますが，
これで見られるように，基準方向が変わったことによりvrはvから小さく，vθは0から有限の値に増加しています。
速度成分が時間とともに変わったのですから，そこに加速度成分が出現します。

これが問題にしている加速度項の本質的な意味です。

物体そのものは加速度0で運動しているにもかかわらず，
座標系の回転(er, eθの回転)によって加速度があらわれます。

お礼

ありがとう御座いました。よく追って、勉強してみます。

回答No.3

yokkun831

繰り返しになりますが，コリオリ力は筒とともに回転する立場で観測される運動に対して，その速度に常に垂直ですから，筒の回転がコントロールされているならば（定速，加速を問わず）コリオリ力のあるなしで玉の運動は影響を受けません（コリオリ力のために筒からそれとつりあう垂直抗力を受けるだけ）。もし，筒が外力のトルクなしの自由回転をしているならば，玉が受ける抗力の反作用によって，筒の回転にブレーキがかかります。角運動量保存の法則が成立することになるのです。これをともに回転する立場で見れば，コリオリ力とつりあう抗力を玉が受けている，ということになるのです。

ところで，（２）の初めの項は回転の加速による慣性力で，コリオリ力とは区別されると思います。

お礼

ありがとう御座いました。よく理解できるようにします。

回答No.2

yurih

とりあえずですが、

（１）（２）（３）式について。（２）を遠心力としていますが、正確には（２）の第二項が遠心力であり、（２）の第一項と（３）を合わせたものがコリオリ力です。

それを踏まえたうえで、、、

＞もし、(2)も(3)もなく(1)しかなかったとすると（(2)がない、というのは筒が回転していないということです）、玉は図の黄色の位置Bにいることになるかと思います。
＞もし、(1)も(3)もなく(2)しかなかったとすると、玉は図のオレンジの位置Cにることになるかと思います。

この2文は正しいです。なぜなら、一つ目の場合角速度は0で静止系と同じだと考えてよく、二つ目の場合等速円運動を考えれば働く力は遠心力のみになるからです。

さて、コリオリの力ですが、なかなか直観的な説明を思いつきません。
それでも何かの役に立つかもしれないので、一応このまま説明を続けます。

結論から言うと、遠心力が動径方向の運動の変化に対する慣性を表すように、コリオリ力は回転状態の変化に対する慣性を表しています。
つまり、rを不変に保つために必要な力は遠心力に等しくなり、また、回転状態（角運動量）を不変に保つために必要な力が
コリオリ力と等しくなる、ということです。

このことは、jecclさんが書いていらっしゃる、

＞「(2)の寄与だけでは、大きな弧BEを描けない」
＞でも図を描いてみて、「あぁ、直線運動によって、回転中心から離れているのだから、その分描く弧が大きくなるのか」と思うに至りました。「小さな弧と大きな弧の差分だけ、余計な距離を進めさせる力が筒から玉に掛かっていて、それが（３）の加速度をもたらしているのか」

という文章の内容も含んでいます（ｊecclさんの解釈は、「小さな弧と大きな弧の差分だけ」など細かいところで不正確ですが、直観としてはよいということです。）。

ところで、コリオリ力が回転状態の変化に対する慣性を表すということですが、
コリオリの力は、回転に関する運動方程式を考えることで、er×aと書けることがわかります（erは動径方向の単位ベクトルでaは加速度ベクトル。×は外積です）。

これを見れば、コリオリの力は角運動量の変化に関係していることは明らかでしょう。

もう少しスマートな解釈があるかも知れないので、参考書等あたってみてください。

お礼

すみません。お礼を入力していたつもりが、エラーかミスをしてしまったようです。
回答頂きましてありがとう御座います。

とてもお伝えしにくい疑問でありましたが、とても丁寧に回答頂きとても嬉しく思います。
今後ともどうぞ宜しくお願いします。