回転エネルギーを考慮した場合のエネルギー保存則で求めた速さには、どうして物体の大きさが関係しないのでしょうか？

質問

例えば、高さh(m)の斜面の上から球を転がすとします。
高校では、初めに持っていた位置エネルギーが斜面の一番下に着くときにすべて運動エネルギーになるので、そのときの速さv(m/s)を計算することができました（v=(2gh)^0.5）。しかし、それは球が質点に近づいていった場合の極限だと思います。実際、球の慣性モーメントI(kg・m^2)、角速度をω(rad/s)とすると、回転エネルギーは1/2Iω^2で表されるので、初めに持っていた位置エネルギーは、この回転エネルギーにも分配され、質点と考えた場合より速さは小さくなります。
でも、この慣性モーメントIは、半径をr(m)、質量をm(kg)とすると2/5mr^2、また、角速度ωは、球の速さをv(m/s)とすると、v/rで表されるので、この関係式を使って速さを求めると、v＝(10/7gh）^0.5となり、この球の半径rを含まない式になります。
私の思考実験では、半径rを小さくしていくと、どんどん速さvは(2gh)^0.5に近づいていくような気がしてならないのですが、この結果からは、球がいくら大きくても小さくても（質点であっても）、速さは変わらないという結果となり、何か釈然としません。

どなたか分かりやすく説明して頂けないでしょうか？

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

この場合は剛体の運動となりますね。ということでここ↓のサイトに同様の問題が取り扱われていますので一度ご覧になってください。

http://7899.hito.thebbs.jp/one/1155483938

参考URL：

http://7899.hito.thebbs.jp/one/1155483938

お礼

かなり詳しく書かれているので、理論的な（理屈っぽい）私には読み応えがありそうです。ありがとうございました。

回答No.2

nanashisan_

半径をどんどん小さくしていくと回転速度がものすごく大きくなることを忘れていませんか。

お礼

その事実は分かっていたのですが。。。ありがとうございました。

回答No.1

joggingman

ころがり摩擦力が働くと考えているので、摩擦なしで滑り落ちる
ときと同じにならないのではないでしょうか？

お礼

『摩擦がない⇒回転しない』なので、そもそも球の大きさを考えても考えなくても、式は変わらないのですね。ということは、昔こういう問題でよく見かけた”小球”という断り書きは、”小さいので、空気抵抗は無視できますよ”という意味だったのか。。。
ありがとうございました。