応力テンソルについて

質問

久田先生著の「テンソル解析の基礎」を読んでいるのですが，pp.2のテンソルの概念のところで，

「断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfnで表されたとすると，
点Pでの応力ベクトルはtn=dfn/ds(ds→0)で定義される」

と書かれています．ここまでは理解できます．理解できないのは次で，

「もし点Pを通り異なる向きn'の断面をとると，今度はそれに応じた応力ベクトルtn'が得られるはずである」

と書かれているところです．
異なる向きn'の断面をとっても，力のつり合いから考えて，力のベクトルdfnは変わらないのではないでしょうか．
しかしこの本では，n'の断面の場合の力のベクトルはdfn'ということを言っていて，ここがどうしても理解（イメージ）できません．
どなたか，よきご説明があれば，お願いしたいのですが...
よろしくお願いいたします．

回答No.1

noname#230359

欲しい情報「答え」にはなるか分かりませんが，与えられている情報から推測して回答させていただきます．

まずこちらから質問です．
「断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfn」とありますが，このベクトルdfnは，小面積dsに垂直な方向に働いているベクトルではありませんか？

一般に，内力ベクトルは，ある断面に対して傾いている場合がほとんどであるため，断面に対して垂直方向と水平方向に分解して考えます．

ここで，
ある断面に作用する内力ベクトルを df，
ある断面に作用する内力ベクトルの垂直成分をdfn，
ある断面に作用する内力ベクトルの水平成分をdfq，

とすると，

df = dfn + dfq -----(*)

が成り立ちますよね．

以上，勝手な導入からの推測なんですが，教科書に記述してある『断面上の点Pを囲む小面積dsに作用する力がベクトルdfn』とは，(*)式の右辺の第一項目に相当するのではないか，と考えます．

そして，しゅうさんのおっしゃる「異なる向きn'の断面をとっても，力のつり合いから考えて，力のベクトルdfnは変わらないのではないでしょうか．」とは，dfnをdfに置き換えたら，すんなりと理解できます．

つまり，断面が変化しても内力ベクトルdfは変わりません．しかし，dfの垂直成分dfnと水平成分dfqは，(*)式を保ちながら常に変化します．

だから，今回の問題の記述，
「もし点Pを通り異なる向きn'の断面をとると，今度はそれに応じた応力ベクトルtn'が得られるはずである」

というのは，

「断面が変化すると，当然，断面に作用する力の垂直成分も変化するはずだよね？」という単純な原理を説明しているだけなのではないでしょうか．

もしその教科書に，ベクトルを示した図などが描いてあれば，それこそ一目瞭然だと思います．

以上，長くなりました．