曲線の対称性

質問

パラメーター曲線の概形を描くときによく使うと思うんですが、今まで僕は

f(-a)=f(a)ならx軸対称
f(π-a)=f(a)ならy軸対称
f(π+a)=f(a)なら原点対称

と覚えてました。
ところが今年の九州大学の問題にこのパラメーター関連の問題が出ていて、対称性について考える問題がありましたが、解答を調べるとずいぶんとややこしくなってました。解答が載ってるHPのアドレスを載せておくので参照してみてください。第一この問題はx軸、y軸対称であることを示せという問題ですから、結局原点対称であることを言えばいいのではないでしょうか？範囲の置き換えとかは分かります。わざわざ２つに分けて議論しているのがよく分かりません。後ろでさらに範囲まで限定していますし...
この問題に限りませんが、対称性について考えるときはまずどう切り込めばいいのでしょうか？

アドバイスよろしくお願いします。

http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho04/kyushu/zenki/index.html

回答No.1

Tacosan

少なくとも, 「x軸及び y軸のどちらに関しても対称」であることと「原点に関して対称」であることとは等価ではありません. 前者から後者は言えますが, 後者から前者が言えませんので.

ただ, 解答が「簡単ではない」のは確かですね. 周期 2π を念頭において u = t-π/4 とすると, C が
x(u) = cos u, y(u) = -sin 2u (-π ≦ u < π)
と書けることを使えないかな?

お礼

「x軸及び y軸のどちらに関しても対称」であることと「原点に関して対称」であることとは等価ではないのですか。なるほど。それでは一発で解けるはずは無いですね。ありがとうございました。