導関数の証明

質問

F(x)を２階微分可能な関数とするとき、
{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}/h^2→F"(x) （h→0）
をε-δ論法で証明したいのですが、どのように進めれば良いのか分かりません。
自分なりに『h<δ、|{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}/h^2-F"(x)|<ε』のだろうと考えてみたものの良く分かりませんでした。
どなたかこの問題が分かる方の解答、アドバイスをお待ちしております。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

F(x) について、F''(x) が連続である必要があるのではないでしょうか？

Taylor の定理から x, h に対してある 0 < α,β < 1 が存在して

F(x + h) = F(x) + F'(x)h + (1/2)F''(x+αh)h^2
F(x - h) = F(x) - F'(x)h + (1/2)F''(x-βh)h^2

よって、{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}/h^2 = (1/2){F''(x+αh)+F''(x-βh)}

右辺が F''(x)に近いことを評価する上で F''(x)の連続性が必要になると思います。

お礼

ご回答していただきありがとうございました。
とても参考になりました。
ありがとうございました。