微分方程式の問題です。

質問

微分方程式の問題です。

-∞<t<∞で定義された２回微分可能な実数値関数u（t）が、方程式

u’’（t）＋｛3u（t）^2-a｝u’（t）=0 a:実数の定数　　および、

lim（t→-∞） u（t）=0 、　　　lim（t→∞） u（t）=1

を満たすとする。

（1）u’（t）+u（t）^3-au（t）は、tについて定数関数となることを示しなさい。
（2）lim（t→-∞） u’（t）=0 、　lim（t→∞） u’（t）=0　　を示しなさい。

という問題です。

（1）は示せたのですが、（2）の示し方がよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

u"(t)+{3u(t)^2-a}u'(t)=0
lim(t→-∞) u(t)=0,　lim(t→∞) u(t)=1
u'=p
u"=dp/dt=(dp/du)(du/dt)=pp'
pp'+{3u^2-a}p=0
p(p'+3u^2-a)=0
p=0又は(p'=a-3u^2→p=au-u^3=c)
u'=0 又は u'+u^3-au=c
(1)
u'=0のときu(t)はtについて定数関数だから
u'+u^3-auはtについて定数関数
u'+u^3-au=c のとき
u'+u^3-auはtについて定数関数
(2)
∀ε>0
∃K(s<K |u(s)|<ε/2)
s<K→
∃t(s-1≦t≦s , u(s)-u(s-1)=u'(t))
|u'(t)|=|u(s-1)-u(s)|≦|u(s-1)|+|u(s)|<ε
→
lim(t→-∞)u'(t)=0

∀ε>0
∃K(s>K |u(s)-1|<ε/2)
s>K→
∃t(s≦t≦s+1 , u(s+1)-u(s)=u'(t))
|u'(t)|=|u(s+1)-u(s)|≦|u(s+1)-1|+|u(s)-1|<ε
→
lim(t→∞)u'(t)=0

回答No.1

noname#185706

直感的には、
lim（t→-∞）u（t） = 0
なら t→-∞ で u（t） は定数関数（値 0）に近づくので、導関数 u’（t） は 0 に近づくということでしょう。そのことを、導関数の定義に戻って式で表現すればよいのではないでしょうか。
t→∞ の場合も同様です。