複素関数の積分の問題の解答解説をお願いします。

質問

複素関数の積分の問題の解答解説をお願いします。

∫[|z-2|=3] 1/(z(z+8)(2－z)^3) dz

よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

積分路C：[|z-2|=3]は中心(2,0)、半径3の円周なので
このC内部に含まれるF(z)=1/(z(z+8)(2-z)^3)の特異点は
z=0,z=2であるから、この特異点における留数を求めると
Res(F(z),z=0)=lim(z→0) 1/((z+8)(2-z)^3)=1/64
Res(F(z),z=2)=Res[ -(z-2)^3*{1/20-(3/100)(z-2)+(31/2000)(z-2)^2-(39/5000)(z-2)^3 + ... },z=2]
=Res[-(31/2000)/(z-2),z=2]
=-31/2000
なので留数定理より
∫[|z-2|=3] 1/(z(z+8)(2－z)^3) dz
=2πi {(1/64)-(31/2000)}
=π i /4000 ... (答)

お礼

ありがとうございました