積分順序の交換

質問

∬(x+y)dxdy
0≦3x+y≦2
1≦x-2y≦3
という問題です。
この問題で積分順序の交換をするのですが、
積分範囲をどう変換していいかわかりません。
グラフには書いてみたのですが、その後xとyの範囲はどのように定めればよいのでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

そのまま積分すると複雑な場合分け（領域の分割）が必要になります。
積分の上限と下限が定数とする単純な積分範囲にすることが、積分を非常に単純かつ簡単にします。
その様な変数変換は定石です。
#1さんも言われているように
> 0≦3x+y≦2
> 1≦x-2y≦3
の挟まれた間の式をそれぞれ別の変数
u=3x+y、v=x-2y　…(◆)
と置換することで
新しい2つの積分変数の範囲が
0≦u≦2
1≦v≦3
と単純になり、積分の上限下限が定数に出来ます。
積分変数の変更で面積素の変換係数（ヤコビアン）をかけて
領域の変換をします。
|J|=(∂u/∂x)(∂v/∂y)-(∂u/∂y)(∂v/∂x)=|3*(-2)-1*1|=7
dxdy=7dudv
u=3x+y、v=x-2y → x=(2u+v)/7, y=(u-3v)/7
x+y=(1/7)(3u-2v)
I=∬(x+y)dxdy=∬(1/7)(3u-2v)7dudv=∬(3u-2v)dudv
=∫[1,3]{∫[0,2] (3u-2v)du}dv
または
=∫[0,2]{∫[1,3] (3u-2v)dv}du
と
■■簡単に積分の順序が入れ替えられます。■■

これは（◆）の変数変換で積分領域が
長方形領域に変換できたことによります。

I=∫[1,3]{∫[0,2] (3u-2v)du}dv
=∫[1,3] [(3/2)u^2-2vu)] [0,2]dv
=∫[1,3] [6-4v]dv
= [6v-2v^2] [1,3]
= 18-18-(6-2)= -4

I=∫[0,2]{∫[1,3] (3u-2v)dv}du
=∫[0,2]{(9u-9)-(3u-1)}du
=∫[0,2] (6u-8)du
=12-16= -4
と積分の順序を入れ換えても当然同じ結果になります。

お礼

ヤコビアンの使い方がわかりませんでしたが、このような問題に使うのですね。参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

積分順序の交換とは？
つまり、この積分をしろ、ということでいいのかな。

何も考えないで機械的にやるなら素直にやるなら、
積分領域を
1/7≦x≦3/7
3/7≦x≦5/7
5/7≦x≦1
の３つに分けて、それぞれ重積分すればいいんでしょう。

ただ、コンピュータではなくて、人間が手で計算するなら、普通はこんな馬鹿正直な方法ではなくて、
s = 3x+y
t = x-2y
と変数変換するほうが、ずっと早くできるでしょう、