1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少

質問

1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよという問題なのですが,
1+x=yと置き換えて考えたのですけれど、躓きました。お力をお貸しください。

回答No.5

adinat · ベストアンサー

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか？最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3の[0,1]における最小値を求めよ」
という感じになるはずですからね。

さて、置き換えを使ってもあんまり簡単にならないので、そのまま分母を払って整理すると、
「x^3+2x^2-2=0の実数解を少数第7位まで求めよ」
という感じになりますが、これは[0,1]に実数解をひとつ、さらに虚解がふたつあることは容易に分かります。で、その解ですが、カルダノの公式を使えば、
「3x=-2+(19-3√33)^{1/3}+(19+3√33)^{1/3}」
であることは容易に分かります。ただ、この値を手計算で少数第7位まで計算するのはやはり困難なので、近似計算を手計算するのであれば、ニュートン法あたりを使うのがオーソドックスでしょう。ちなみに、このxを20桁精度で計算すると、
「x=0.83928675521416113255…」
になります。

以下、ニュートン法。f(x)=x^3+2x^2-2とおいて、(x_n,f(x_n))で接線を引き、x軸との交点をx_{n+1}とおいてみましょう。そうすると簡単な計算から、
「x_{n+1}=2(x_n^3+x_n^2+1)/(3x_n^2+4x_n)」
となることが分かります。x_1=1からスタートすれば、x_nは解の近似を与えるから順番に計算していきます。そうすると、
「x_2=6/7=0.8…」
「x_3=811/966=0.839…」
「x_4=2070198913/2466616761=0.839286…」
「x_5=6263804199613897189499314834/7463246811294598892464483629=0.83928675521416…」
となるようですね。しかしニュートン法使ったところで、x_4辺りが手計算の限界のようには感じますが、これでも少数第6位ぐらいまでしか合わないみたいですね。ちなみに精度はステップをひとつ上げると桁数が倍になるぐらいの感じです。

回答No.4

OKXavier

問題をしっかり確認したらどう？

お礼

確認はしていますが、やはりニュートン法か立法完成つかうしかないのかな・・・。

回答No.3

B-juggler

補足感謝。No.1です。

えっと、　ｆ（ｙ）＝ｙ＾３－ｙ＾２－ｙ－１　かな。

０＜ｘ＜１　⇔　１＜ｙ＜２　でいいのかな？

ｄｆ／ｄｙ　を取って、　・・＝３ｙ＾２－２ｙ－１＝０

となるところが極値だよね。

ちょっと計算間違いしているかもしれないからよく確かめてね。

（ｙ－１）（３ｙ＋１）＝０　ｙ＝１，－１／３　

なんかこういう表があったね。

－無限大　－１／３　・・・　１　＋無限大
　増加　　　極地　　減少　　極地　増加

こうなると思うんだけど。

範囲の中で考えると、１に限りなく近い（大きいほうから）ところで、
ｙを最小を取るはず。

１．００００００１　？？

こういうのはあるけど、引っ掛け問題だよね＞＜

（ｘ＝０．００００００１　になるんだろうけども）。

問題をもう一回確認してもらっていいかな？

スイマセン　ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

たびたび、ありがとうございます。
引っ掛け問題という意味がいまいちわかりませんが、
少数第7位まで求めなければならないので、ニュートン法か立法完成するしかなさそうですね。。。
通常の微分からの最小値の存在しか確かめられないので・・・涙
回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

どんな問題なんだ, それは....
「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値」って, 1 に決まってるよ. だって, 「1 の最小値」でしょ?

補足

すみません、xの範囲が抜けていました０＜ｘ＜１の範囲でですね。

回答No.1

B-juggler

微分積分はダイジョウブかな？

えっと、ｙ＝ｘ＋１　と置いてもいいけど、そのままいけないこともないと思うよ。

ｘ≠－１。　これ抜かしちゃダメよ。

両辺に　（ｘ＋１）＾３　をかけてしまう！　って言う手が使えないかな？

ｘの範囲がどこかにないかな？

ちゃんと計算はしてないけど、－∞　なんてことにならなきゃいいけど。

あんまり頭が働いてないけど　ｍ（＿　＿）ｍ

補足

すみません、xの範囲書き忘れました。0<x<1　でした。
とりあえず、1+x＝yと置いて分母を払い　y^3-y^2-y-1=0とまでは出したのですが、
左辺をf(y)と置いて考えると、1<y<2で単調増加でf(1)<0　f(2)=>0とまでは分かり…
f(y)は1<y<2で解を一つもつ。条件の0<x<1に対応するとまでは考えたのですけど・・・
カルダノ法とニュートン法の応用の仕方を完全に忘れてしまい困ってるんです涙