角度の問題です。合同な正方形を３つ横につないで長方形ABCDをかきます

質問

角度の問題です。合同な正方形を３つ横につないで長方形ABCDをかきます。線BC間の３等分点をE,FとしDからB,E,Fへ直線をひきます。角DBC,角DEC,角DFCの和は何度になりますか。
絵を添付しましたが、正確にはかけていません。すみません。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

添付図で、
?BADと?EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す角が１：３になっているので相似です。
よって、
∠ADB＝∠GDE

∠DBC＋∠DEC＋∠DFC
＝∠ADB＋∠ADE＋∠CDF
＝∠GDE＋∠ADE＋∠CDF
＝∠ADC＝90°

お礼

やっとわかりました。∠ADB＝∠GDEにして、絵をかいたらわかりました。ありがとうございました。

回答No.8

whma-hit55

＞三角形GBDは直角二等辺三角形になるのが、理由がわかりません。

合同な正方形を2つつないだ長方形の対角線による三角形は合同であることから、図の赤い孤で示した角度がすべて等しいことはご理解できると思います。同様に青い孤で示した角度もすべて等しいです。赤い孤で示した角度と青い孤で示した角度を足したものが直角になることも自明となると思います。

お礼

やっとわかりました。うれしいです。わかるまで、おつきあいいただき感謝します。ありがとうございました。

回答No.7

whma-hit55

>角DEC=角GBCになるのから、わからなくなりました。

線分DEと線分GBは、合同な正方形を2つつないだ長方形の対角線です。（線分GDもそうです。）よって三角形DECと三角形GBFは合同です。よって角DEC=角GBCになります。これでお分かりになりませんか。

お礼

本当にていねいにありがとうございます。でも、三角形GBDは直角二等辺三角形になるのが、理由がわかりません。

回答No.6

whma-hit55

昔からある中学生レベルの問題です。
補助線のひき方がポイントです。添付図のように補助線を書きます。
角DEC=角GBCなので
角DBC+角DEC＝角GBDとなります。
三角形GBDは直角二等辺三角形です。
∵線分の長さGB=GD、角BGDは直角
よって角DBC+角DEC＝角GBD＝45度
角DFC=45度
よって角DBC+角DEC＋角DFC＝90度　直角になります。

お礼

ありがとうございます。すみません。角DEC=角GBCになるのから、わからなくなりました。

回答No.5

nag0720

＃４です。
最初の文が間違っていました。

?BADと?EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す角が１：３になっているので相似です。
↓
三角形BADと三角形EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す辺が１：３になっているので相似です。

お礼

ていねいに訂正ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

平行線に対する錯角を使って
・∠DFC = ∠CDF
・∠DEC = ∠ADE
は簡単. 残りの ∠DBC については「F を通る DF の垂線と DE の交点」を G とおくと
△BCD ∽ △DFG
になることから ∠DBC = ∠GFD = ∠EDF.

お礼

回答ありがとうございます。すみません。「F を通る DF の垂線と DE の交点」を G とおくとが、わかりません。

回答No.2

grumpy_the_dwarf

tanθが1/3、1/2、1であるθの和ですね。tanθが1になるのは45度
ですからこれは最後に足すことにして、tanθが1/3になる角度と1/2
になる角度を足したもののtanを、三角関数の加法定理で求めます。
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))なので、
tan(a+b) = (5/6)/(1-1/6)=1
おっと、tan(a+b)が1になりました。あとは簡単ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
tanθが1/3、1/2、1であるθの和、を知りません。中一程度の能力でわかる、簡単な図形の性質などを使っておしえていただけないでしょうか。

回答No.1

ziziwa1130

∠DBC=α、∠DEC=β、∠DFC=γとすると、
tan α=1/3
tan β=1/2
tan γ=1
となることは分かりますよね。
求める角はα+β+γですから、tan (α+β+γ)を加法定理で計算すれば出ますよ。
あと、
tan θ=sin θ/cos θ
はお分かりですよね？

お礼

回答ありがとうございます。
tan θ=sin θ/cos θなどわかりません。中一程度の能力でわかる、簡単な図形の性質などを使っておしえていただけないでしょうか。