正方形の対角線上にある点

質問

三角形の面積を求める問題の解説でわからないので質問します。
1辺の長さ4cmの正方形ABCDの、辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれK,L,M,Nとする。さらに線分ALとKCの交点をQとする。
この時、Qは対角線BD上にあることわかりません。
自分は三角形BKQと三角形BLQが合同なら、∠BはBQで2等分されると思い、BQは共通、BL=BK、∠BKQ=∠BLQを考えたのですが、三角形の合同の条件を満たしません。
この問題は、三平方の定理、相似、円の単元の以前の問題なので、
どなたか、それらをつかわずに中学数学の範囲で、Qは対角線BD上にあることを証明してください。お願いします。
問題では三角形QLCの面積が問われ、その答えは4/3平方cmでした。

回答No.3

nihonsumire · ベストアンサー

まず、あなたが中学生として説明します。(1)重心(2)正方形の対角線の性質の２つの確認が必要です。
・重心とは、中線の交点です。よって、点Qは重心です。直角二等辺三角形ABCの頂点Bからの中線は底辺ABと垂直に交わります。
・次に、正三角形の対角線は直角に互いを２等分すると言えます。よって、点Qは、対角線上にある。
これを、証明する作業は、教科書等で確認して下さい。
あなたが高校生なら、再度質問してください。

お礼

BQとBDの2つの直線が、同一直線上にあることの証明。ありがとうございます。

補足

いくつか質問させてくださいお願いします。
底辺ABではなく底辺ACでよいですか？
頂点Bからの中線は重心Qを通り、ACに垂直。対角線BDもACに垂直になるので、BD上にQがあるでよろしいでしょうか？

回答No.6

SPS700

＃１です。補足です。

＞＞AQ=CQについて自分なりに考えてみました。よければお返事ください。
△ABLと△CBKにおいて、∠Bは共通、AB=CB、BL=BKより△ABL≡△CBKよって∠KAQ＝LCQ・・・(1)
次に△KAQと△LCQにおいて、KA=LC、∠KQA=∠LQC、(1)より△KAQ≡△LCQでもよいですか？

　はい、とてもいいと思います。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.5

f272

#2です。
> 角ABL=角CBK
> 角BAL=角BCK
> AL=CK
> だから三角形ABLと三角形CBKは合同です。
の部分は，あなたの言うように
> △ABLと△CBKにおいて、∠Bは共通、AB=CB、BL=BKより2辺夾角よ> り△ABL≡△CBK
の方がよいね。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.4

nihonsumire

nihonsumireです。ごめんなさい。訂正いたします。
>底辺ABではなく底辺ACでよいですか？
はい、底辺AC上です。
>頂点Bからの中線は重心Qを通り、ACに垂直。対角線BDもACに垂直になるので、BD上にQがあるでよろしいでしょうか？
その通りです。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

f272

対角線BDに関して，AとC，KとLは対称な位置にあるのだから，Qは対角線BD上にあると言ってもいいのですが，三角形の合同から丁寧に証明すると以下のようになります。

角ABL=角CBK
角BAL=角BCK
AL=CK
だから三角形ABLと三角形CBKは合同です。したがって
角BLA=角BKCつまり角CLQ=角AKQ
さらに角LCQ=角KAQ
CL=AK
だから三角形CLQと三角形AKQは合同です。したがって
LQ=KQ
またLB=KBとBQ=BQが言えるので，三角形LBQと三角形KBQは合同です。
これから角LBQ=角KBQであることがわかり，Qは対角線BD上にあることが証明できますね。

なお，三角形ABQと三角形BCQにおいて，AB=BCやBQは共通であることはすぐにわかっても，いきなりAQ=CQということはわかりません。

お礼

三角形LBQと三角形KBQは合同と、自分のアイデアを証明してくださりありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。
角BAL=角BCKがわかりません。同位角か錯覚かを疑ったのですが、わかりませんでした。理由を教えてください。自分は
△ABLと△CBKにおいて、∠Bは共通、AB=CB、BL=BKより2辺夾角より△ABL≡△CBKと考えてみました。

回答No.1

SPS700

Qが対角線BD上にあることを証明するためには、三角形ABQと三角形BCQが合同であることを証明すればいい訳です。

１。AB=BC 正方形だから
２。BQ　は共同
３。AQ=CQ　
４。三辺が同じだから　△ABQ　≌ △BCQ
５。∠ABQ=∠QBC qed

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

AQ=CQについて自分なりに考えてみました。よければお返事ください。
△ABLと△CBKにおいて、∠Bは共通、AB=CB、BL=BKより△ABL≡△CBKよって∠KAQ＝LCQ・・・(1)
次に△KAQと△LCQにおいて、KA=LC、∠KQA=∠LQC、(1)より△KAQ≡△LCQでもよいですか？