算数：正方形を3分割した内の１つの面積を求める問題

質問

下図の問題について、解法を箇条書きでも構わないので教えていただけると幸いです。

下図は一辺の長さは６の正方形ABCDの中に点Eを置いたところ
∠AED=135°、∠AEC=∠DECとなりました。
この時、□ABCEの面積はいくつですか。

自分の方で考えた限りでは
△ABEと△EBCとでそれぞれ面積を出して足すのかなと考えており、
そのためにはABを底辺とした時の△ABEの高さと
BCを底辺とした時の△EBCの高さをそれぞれどう求めるか・・・
という所で詰まってしまっています。
どなたかご教示いただければ幸いです。

尚、この問題は中学受験算数で学ぶ範囲で解けるものとされており
三角関数や二次方程式、√などを使わずとも解けるようになっているようです。

回答No.3

staratras

以下の回答（特に後半）は算数の範囲を超えていますし、天下り的でエレガントではありませんがが、参考まで。

まず点Eはどのような点になるかです。下の図のように1辺が6の正方形の上辺に底角45度の直角ニ等辺三角形を作り、この頂点をFとします。FとCとを結び正方形の上辺DAとの交点をGとします。Gを通り正方形の対角線ACに平行な直線とFを中心とし半径FA=FD(=3√2）の円との交点がEです。

∠AFD=135°になることは容易に示せます。上記の円周上の優弧AD上に任意の点Hをとると∠AFD=90°は円周角∠AHDに対する中心角だから円周角はその半分つまり、∠AHD=45°です。四角形AEDGはこの円に内接しますので、∠AFD+∠AHD=180°だから∠AFD=180°-45°=135°です。

次に具体的に点Eを求めます。ここで座標を使います。
円の中心F(3.9）、C(6,0)は明らかなので、FCの式は
y=((0-9)/(6-3))(x-6) つまりy=-3x+18で、辺DA(y=6)との交点GはG(4.6)です。注１
ゆえにGを通りACに平行な直線の式は傾きが-1なので
y-6=-(x-4)　つまりy=-x+10　…（２）です。
ここで直線（２）上で点Fからの距離が3√2の点を求めると(計算略）
E（2+2√2,8-2√2）です。

ここで∠AEC=112.5°であることが示せれば∠AEC=∠CEDです。
直線AEの傾きは（(8-2√2)-6)/(2+2√2)=2√2-3
直線ECの傾きは-(8-2√2)/(6-(2+2√2))=(2√2-8)/（4-2√2)=-3-√2

そこでこの2直線のなす角をθとすると
tanθ=（-3-√2-(2√2-3))/(1+(-3-√2)・(2√2-3))=-1-√2=-(1+√2）
ここでtan112.5°=-(1+√2）なのでθ=112.5°です。

あとはACとFDが平行なので三角形AECと三角形AGCは面積が等しく
三角形AGCの面積は1/2・AG・AB=1/2・4・6＝12だから
四角形ABCEの面積は三角形ABCの面積1/2・6・6=18を加えて30です。

Gの位置は三角形FGDと三角形CGAの相似からも求められるので
四角形ABCEの面積は注1の時点で求めることができます。
それ以後は点Eが∠AEC=∠CEDを確かに満たすという確認です。

お礼

丁寧で詳細なご回答ありがとうございます。
確かに算数の範囲を超えた内容ではありますが、それだけ難問であるということが分かりました。
FCとADの交点Gを使うところは何かとっかかりになりえないかと気になるので、このあたりからも考えてみたいと思います。
もし、三角関数や√を使わない解法が思いつきましたら教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

f272

補足を受けてさらさらっと説明を書こうとしたら、論理的にうまく説明できない。もう少し考えてみます。

回答No.1

f272

FはDに関するEの対称点です。
三角形AEFの重心をG1、三角形CEFの重心をG2とします。
G1はADを2:1に内分し、G2はCDを2:1に内分しますので、EG1とEG2のどちらもACに並行で、G1-E-G2は一直線になります。
三角形AEC=三角形AG1C=三角形ADCの2/3=12
したがって四角形ABCE=18+12=30です。

お礼

ご回答ありがとうございます！
外側に線を伸ばして2つの重心から平行な線を作るとは‥‥なるほど、そんな解き方があるのですね

ただ、まだ分からない点があるのですがよろしいでしょうか?
△DG1G2∽△DACからG1G2//ACになることは分かりました
しかし、G1E//ACやG2//ACとなる経緯がまだ分からずにおります
すみませんが、この点について解説をしていだくことはできますでしょうか?

よろしくお願いします

補足

>しかし、G1E//ACやG2//ACとなる経緯がまだ分からずにおります

すみません、上記の文ですが脱字がありました。
正しくは以下の通りとなります。

G1E//ACやEG2//ACとなる経緯がまだ分からずにおります

よろしくお願いします。