cosθの近似について質問です。

質問

cosθの近似について質問です。
θ1、θ2を微小とするとテイラー展開よりcosθ1=（1-θ1^2/2),cosθ2=（1-θ2^2/2),sinθ1=θ1,sinθ2=θ2となると教科書ではしているのですが、cos(θ1-θ2)は教科書によると1になっているんですがこれはどうやったのでしょうか？（三次以上の微小量は無視）

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

cos（θ1－θ2）　＝　１　－　（θ1 － θ2）^2／２

｜θ1｜≪１
｜θ2｜≪１
よって、
｜θ1 －　θ2｜≪１
cos（θ1－θ2）　≒　１　－　０^2／２　＝　１

なお、
｜ａ｜≪１　のとき
cosａ　≒　１
sinａ　≒　ａ
ですが、
１－cosａ　となると話は別で、１－１＝０　にしてはいけません。
一言で言えば「比率の問題」です。

回答No.3

hitokotonusi

＞（三次以上の微小量は無視）

ということなら、ANo.2さんの言うとおりですね。

これで間違いではないとすると、θ1-θ2がθ1またはθ2に対して1次以上の微少量、
つまり、1にたいしては２次以上の微少量になっている(それを二乗するので最終的には4次以上)という条件があるんじゃないでしょうか。

回答No.2

cyototu

cosθ1=（1-θ1^2/2),
cosθ2=（1-θ2^2/2),
sinθ1=θ1,
sinθ2=θ2,

という近似なら、

cos(θ1-θ2) = 1-(θ1-θ2)^2 /2　　　　　

が正しい近似です。

cos(θ1-θ2) = 1　

は間違いです。

例えば

θ1　= 0.02 <<1
θ2　= 0.01 << 1

とすると、

cosθ2=（1-θ2^2/2) = 1- 0.00005 = 0.99995　　----------- (＊)

一方

cos(θ1-θ2) = 1-(θ1-θ2)^2 /2　= 1- 0.00005 = 0.99995　------ (＊＊)

となりますから、両方とも２次の微少量の部分は同じになります。（＊）を0.99995　として、(＊＊)を１とするのは矛盾した近似になります。

私は論文などを書く時に、こんな失敗をすることが時にはあり、人から間違いだと指摘された場合には、間違いじゃない、誤植だと言うことにしています。その教科書も間違ったのではなく、誤植すなわち印刷間違いだったというとこにしましょう。