a sinθ + b cosθ + c= 0 でθ を求めるには？

質問

どうしますか？a,b, c　は０ではありません。特に何かの課題とか与えられた問題ではありません。ある計算をしていて、行き詰ってしまいました。具体的には、26578 cosθ = 6378 + 7121.55 sinθ　でθを求めたいです。展開式解法でも、近似的解法でも構いません。わかる方どうぞやり方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

i536

三角関数の合成でもいいと思います。
a sinθ + b cosθ + c= 0

a/(√(a^2 + b^2))=cos Φ ---(1)
b/(√(a^2 + b^2))=sin Φ ---(2)
tan Φ=b/a ---(3)
とおけば、与式は
sin(θ+Φ)=-c /(√(a^2 + b^2)).---(4)

---
26578 cosθ = 6378 + 7121.55 sinθを解きます。
-7121.55 sinθ + 26578 cosθ = 6378

(3)より、tan Φ=b/a=26578/-7121.55 =-3.732　∴Φ=-74.9998° ---(5)
√(a^2 + b^2)=27515.569382より、
-c /(√(a^2 + b^2))=-6378/27515.569382=-0.2318.---(6)
(4)(6)より、sin(θ+Φ)=-0.2318.

∴θ+Φ=-13.403°
∴θ=61.597°

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

hinebot

済みません。「両辺を2乗して」のあと、ちょっとだけ間違えました。

b^2{1-(sinθ)^2} =a^2(sinθ)^2+2ac・sinθ+ c^2
sinθ = x　として整理すると
(a^2+b^2)x^2 +2acx +c^2-b^2 = 0

が正解です。お詫びにちょっと計算してみます。

26578 cosθ = 6378 + 7121.55 sinθ
ですので、
a=7121.55, b= -26578, c=6378 で
x^2の項：
a^2+b^2 =(7121.55)^2+(-26578)^2 = 50716474.4025 + 706390064 ≒ 757106538.4
xの項：
2ac = 2×7121.55×6378 = 90842491.8
定数項：
c^2-b^2 = (6378)^2-(-26578)^2 = 40678884 - 706390064 = -665711180

これを解の公式　x = {-b±√(b^2-4ac)}/2a に当てはめると

x = {-90842491.8 ±√((-90842491.8)^2-4・757106538.4・(-665711180))}/2・757106538.4

分母＝1514213076.8
分子の√の中　＝ 8252358316433067.24 + 2016057148255917248 = 2024309506572350315.24
分子≒-90842491.8 ±1422782311.7 ＝ 1331939819.9 or -1513624803.5
∴ x ≒-0.9995 or 0.8796
それにしてもすごい数字ですね。計算間違ってなきゃいいけど。
あとはご自分でどうぞ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

hinebot

（考え方）
(sinθ)^2+(cosθ)^2 = 1 より、sinθかcosθだけにする。
とりあえず、sinだけにしてみると

a sinθ±b{√(1-(sinθ)^2)}+ c = 0

±b{√(1-(sinθ)^2)} = -asinθ-c

両辺を2乗して
b{1-(sinθ)^2} =a^2(sinθ)^2+2ac・sinθ+ c^2
sinθ = x　として整理すると
(a^2+b^2)x^2 +2acx +c^2-b = 0
というxの2次方程式になる。これを解いて２解α、βを求める。
ここで　-1≦x≦1 であることに注意して、α、βが題意に合うか検証する。
xの値が決まったら、Excelか、関数電卓で Arcsin(x)を求めれば、θが求まる。
（Excel の場合はASINという関数になります。ただし、単位はラジアンになりますので、度で求める必要がある場合は、π/180 で割ってください。）

※ただ、今回の場合、2次方程式の係数の数字が数字だけに、計算がやっかいですが、一応、上記の方法で求められます。
ところで、２次方程式の解き方は大丈夫でしょうか？
念のため解の公式を示しておきます。
２次方程式　ax^2+bx+c = 0（a≠0) の解は
x = {-b±√(b^2-4ac)}/2a です。