近似の仕方

質問

近似の仕方が分かりません。xが十分に小さいとき、ｘの２次までで近似をしたいです。

ｙ＝a{1+　x^2/(n-A+√(A^2-x2^2)）}^(-1/2)

というしきです。
分かりにくいですが、分子がx^2で/から後ろが分母。
最初のaを除いて（１＋分数）を-1/2乗です。

テイラー展開をしようとしたのですが、ｘが分母分子にあり微分がごちゃごちゃになって困りました。

近似の仕方で（１＋x)^n≒1+nxみたいに簡単にはいかないのでしょうか？

一応物理の問題に出てきて途中の近似をしたく、
数学の証明みたいにεとかは使わなくて大丈夫です。

どうやら
色々調べたところ２つの少し違う答えが出てきました。これも困っています。
が、私が知りたいのは答えよりもやり方です。やり方は省略されていて詳しく出てきません。

どなたかやり方を教えてください

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

y=の式は添付図の式で合ってますか？
添付図の2つ目がyをxでテイラー展開した式です。Mapleという数式処理ソフトの結果です。xの2次までならa-a*x^2/(n-A+|A|)になります。yをxでテイラー展開するには、定義に従えばできますが、2階微分以降は複雑な式になります。添付図のfactor(diff(y,x))は1階微分、factor(diff(y,x,x))は2階微分ですが、添付図の下にはまだ式が続きます。

2階微分はここ（http://www.wolframalpha.com/input/?i=diff%28diff%28a%2Fsqrt%281%2Bx%5E2%2F%28n-A%2Bsqrt%28A%5E2-x%5E2%29%29%29%2Cx%29%2Cx%29%3B）でも計算できます。これは2階微分の結果ですが、空欄に計算式を入れてEnterキーを押すと結果が出ます。

お礼

すごいです！
こんな便利なものがあるなんて！！！！
ありがとうございます。

回答No.3

htms42

問題に間違いはありませんか。
＞ｘが十分に小さいとき、ｘの２次までで近似をしたい

式を見てみるとｘはｘ^2でしか現れてきていません。
ということはｘ＜＜１で展開すればｘ^2の項、ｘ^4の項、ｘ^6の項、・・・となるのですからｘ2次までの項ということは最低次数の項だけでいいということです。
(１＋ｘ)^n≒１＋ｎｘ
ですむ範囲の近似です。

ｙ／ａ＝{1+　x^2/(n-A+√(A^2-x2^2)）}^(-1/2)
　　　～{1+　x^2/(n-A+A√(1-x2^2)）}^(-1/2)
　　　～{1+　x^2/n）}^(-1/2)
　　　～１－ｘ^2/(2n)

お礼

ごめんなさい式が少し違います

ｙ＝a{1+　x^2/(n-A+√(A^2-x2^2)）}^(-1/2)

ではなく

ｙ＝a{1+　x^2/(n-A+√(A^2-x^2)）}^(-1/2)

です。x2の２はいりませんでした。

しかし問題はあっています。
多分-1/2乗されているから消えるのかなと思っていたのですが・・・
どうでしょうか？

回答No.1

Tacosan

どれだけの項数が必要になるかはさておき, 基本的には
1. 分母の中にある √(A^2-x2^2) を展開
2. 分母 n-A+√(A^2-x2^2) を展開
3. x^2/(n-A+√(A^2-x2^2)） を展開
4. {1+　x^2/(n-A+√(A^2-x2^2)）}^(-1/2) を展開
と, ちょっとずつやっていけばできるはずです... あれ? 1 のルートの中にある x2 ってなんだ?

ここにあるすべての「展開」はテイラー展開すればいいだけですが, （１＋x)^n≒1+nx で済むかどうかは知りません.

お礼

ごめんなさい式が少し違います

ｙ＝a{1+　x^2/(n-A+√(A^2-x2^2)）}^(-1/2)

ではなく

ｙ＝a{1+　x^2/(n-A+√(A^2-x^2)）}^(-1/2)

です。ごしてきのとおりx2の２はいりませんでした。