近似計算ができなくて困ってます

質問

みにくくてすみません。
{1+(h/r)^2+(2*h*cos(t)/r)}^(-1/2)を（h/r）^2の項までとって近似すると
｛1-h/(2*r^2)+(h*cos(t)/r)+(3*h^2*cos^2(t))/(2*r)｝となると教科書に書いてあるのですが導出ができません。変数はｒとtです。
どなたかお教えください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

f(x)={1+ax+bx^2}^(-1/2)
とおきます。
f'(x)=(-1/2){1+ax+bx^2}^(-3/2)・(a+2bx)
f''(x)=(3/4){1+ax+bx^2}^(-5/2)・(a+2bx)^2
　　　+(-1/2){1+ax+bx^2}^(-3/2)・2b
より
　f(0)=1, f'(0)= -a/2, f''(0)=3a^2/4 - b
となります。これをテーラー展開
　f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+…
に代入すると
　f(x)=1-(a/2)x+(1/2)(3a^2/4 - b)x^2
そしてa=2cos(t), b=1, x=(h/r)を代入すると
　f=1-h^2/(2 r^2)-(h cos(t)/r)+(3 h^2 cos^2(t))/(2 r^2)
となります。ご質問は展開前の式か展開後の式のどちらかのcos(t)の符号が違っていませんか。

お礼

ありがとうございます。おかげでわかりました。確かに教科書の展開後の符号は間違っているようです。