高校数学のある問題ができません

質問

単刀直入に問題を申し上げます。

同一平面上に定点A,B,動点P,Qがあり,
AB=√3,AP=PQ=QB=1を満たす.
△ABP,△BPQの面積をそれぞれS,Tとしたとき,
Sの二乗とTの二乗の和の値域を求めよ.

です。sinとcosを導入したりしたのですか、
どうも上手くいきませんでした(泣)

ご教授お願いしますm(_ _)m

回答No.1

ji6 · ベストアンサー

AB=√3、BQ=1、PQ=1、AP=1の四角形ABQPを対角線PBで２つに分けた三角形の面積がSとTです。
∠PAB=θとする。

△ABPにおいて余弦定理により、PB^2=4-2√3cosθ…(1)

QからPBに下ろした垂線をQHとすると、△BPQは二等辺三角形より、

QH^2=1-PH^2
=1-(PB^2)/4
=1-(1-(√3/2)cosθ)　　（(1)より）
=(√3/2)cosθ

S^2+T^2=(△ABP)^2+(△BPQ)^2
=((√3/2)sinθ)^2+((1/2)・PB・QH)^2
=(3/4)(sinθ)^2+(1/4)・PB^2・QH^2
=( )( )^2+( )・(4-2√3cosθ)・(√3/2)cosθ
　　　 =-(3/2)(cosθ)^2+(√3/2)cosθ+3/4
=-( )(cosθ-1/(2√3))^2+7/8

θは,PQBが一直線になるときに最大で 90°

よって、0°≦θ≦90°より、0≦cosθ≦1

したがって、√3/2-3/4≦S^2+T^2≦7/8

お礼

ありがとうございます(^^)
座標を設定して解いていたので
大変なことになっていました(x_x)