問題が解けません。

質問

問題が解けません。
(1)バスが毎時０分にバス停に到着する。バスは時刻を知らずにバス停に来た人がバスに乗るまでの時間の期待値を求めなさい。

(2)バスが毎時０分、２５分にバス停に到着する。バスの時刻を知らずにバス停に来た人が２５分のバスに乗る確立を求めなさい。

(3)0<x<y<60とする。バスが毎時０分、x分、y分にバス停に到着する。バスの時刻を知らずにバス停に来た人がバスに乗るまでの時間の期待値f(x,y)を求めなさい。

(4)f(x,y)の最小値およびそのときのx,yを求めなさい。

どうかよろしくお願いします。

回答No.1

sanori

こんにちは。

（１）
Ａ時０分の直後（時刻ｔ＝０）から「Ａ＋１時」０分（時刻ｔ＝６０）までの１時間だけを考えます。
待たされる時間Ｔは、ｔ＝０　の場合にＴ＝６０、ｔ＝６０の場合にＴ＝０ですから、
Ｔとｔには次の関係が成り立ちます。
Ｔ　＝　６０－ｔ
０＜ｔ≦６０　の範囲でＴの平均を取ると、３０分になります。
言い換えれば、０＜ｔ≦６０　の範囲で待たされる時間Ｔの期待値は３０分です。
そして、次の６０分間、そのまた次の６０分間、そのまた・・・でも同様ですので、
待たされる時間Ｔの期待値は３０分です。

本来は、積分を使って計算するところです。
Ｔ　＝　１／６０∫[t=0⇒60]（６０－ｔ）ｄｔ
　＝　１／６０・［６０ｔ　－　ｔ^2／２］[t=0⇒60]
　＝　１／６０・［（６０×６０－６０^2／２）－（６０×０－０^2／２）］
　＝　１／６０　×　１８００
　＝　３０（分）

（２）
毎時　０＜ｔ≦２５　に来る確率なので、２５／６０　＝　５／１２

（３）
期待値は、（１）と同じ考え方で求められます。

Ａ：　０＜ｔ≦ｘ
　　ｘ分間なので、確率はｘ／６０、待たされる時間の平均はｘ／２
　　よって期待値は、ｘ／６０　×　ｘ／２

Ｂ：　ｘ＜ｔ≦ｙ　は、（ｙ－ｘ）分間
　　（ｙ－ｘ）分間なので、確率は（ｙ－ｘ）／６０、待たされる時間の平均は（ｙ－ｘ）／２

Ｃ：　ｙ＜ｔ≦６０　は、（６０－ｙ）分間
　　（６０－ｙ）分間なので、確率は（６０－ｙ）／６０、待たされる時間の平均は（６０－ｙ）／２

ｆ（ｘ、ｙ）　＝　Ａの期待値　＋　Ｂの期待値　＋　Ｃの期待値

（４）
（３）で求めたｆの式をながめてみれば解けると思います。