確率の問題です。

質問

（1）バス停に毎時0分とx分にバスが到着する（0<x<60）。バスの時刻を知らずにバス停に来た人がバスを待つ時間の期待値をf(x)分とする。
f(x)=(2x^2-120x+3600)/120
となることを示せ。

（2）バス停に毎時0分、x分、y分にバスが到着する（0<x<y<60）。バスの時刻を知らずにバス停に来た人がバスを待つ時間の期待値をf(x,y)分とする。f(x,y)の表式を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

taromaru03 · ベストアンサー

frag4lifesさんはどれくらい確率の知識がありますか？この問題をきちんと解こうとすると、確率変数、密度関数、密度関数をもつ確率変数の期待値の公式、変数変換した時の期待値の公式を知っている必要があります。これらはたいていの確率・統計の教科書に載っていますので、それらを読んでから私の回答を見てもらえると、よりよくわかると思います。
（１）の問題を解こうと思います。
確率の問題を厳密に解こうとするとき、なにがランダムに変動する変数なのか（このような変数を確率変数と言います）をきちんと認識しなくてはいけません。今回の場合はなにが変動する変数ですか？バス停に来る人がバス停に到着した時間ですね。xはいろいろ値を変えますけど、xの値はそのつど止めて、そこで期待値を計算した値をf(x)と置くんですよね。だからこの問題ではxは確率変数とは考えないしょう。
さてバス停に来る人がバス停に到着した時間を確率変数と考えYとおいた時、Yはどのような確率でどのような値をとるのでしょう？おそらく問題から考えると、確率は全部等しくしたいですね？とりうる値ですが0分から60分でいいんじゃないでしょうか。もっと広くして120分とか180分とかにしてもいいのですが、60分の場合に帰着するので60分でいいでしょう。つまりYは0から60までの一様分布に従うと仮定します。するとYの密度関数は1/60になります。このへんは教科書を参照してください。さてこのように確率の問題は自分で問題文から仮定を見つけてくる必要があります。だから人によって見つける仮定が異なることもあり、それがパラドックスが起こる原因でもあります。話がそれましたね。
次に時刻Yに到着した人の待ち時間をg(Y)とします。Yがランダムにいろいろな値をとるのでg(Y)もランダムに変動します。よってg(Y)も確率変数です。Yが0以上x以下ならg(Y)=x-Yで、Yがxより大きく60以下ならg(Y)=60-Yですね。
あとはg(Y)の期待値を計算するだけですが、変数変換した時の期待値の公式を使って、積分を計算すればでてきます。
f(x)=∫【0→60】g(y)/60 dy
　　= 1/60｛ ∫【0→x】( x - y ) dy + ∫【x→60】( 60 - y ) dy｝
これを計算すれば求めたい結果が出てきます。がんばって下さいね！

補足

>>taromaru03さん

非常に丁寧な質問ありがとうございます。
現在ちょうど授業で確率の勉強をしているのですが、やっているのは「確率変数、確率密度関数、確率密度関数をもつ確率変数の期待値」ぐらいです。変数変換した時の期待値の公式というのはまだやっていないと思います。

確率密度関数の期待値E[X]は
E[X]=∫xf(x)dx
で求められるというのはやりましたが、回答していただいたものとは少し異なっていて理解が大変です。

この問題は、今授業でやっている範囲の課題なのですが、上のE[X]の求め方では求められないのでしょうか？

確率密度関数が明らかになれば簡単に解けると思うのですが、この関数がどうもわかりません。

質問重ねになってしまいますが、よろしくお願いします。

回答No.5

Ishiwara

＃４の続きです。
f(x)=(2x^2-120x+3600)/120
は、約分しておいてください。

【問２】
直角２等辺三角形が、今度は３個になり、それらの短辺がｘ、ｙ－ｘ、６０－ｙです。３つの面積を足して６０で割れば、期待値になります。
２個が３個になっただけで、原理は変わりません。

このように、ｘが一様分布（長方形分布）をしているときは、高さ（ここでは待ち時間）を平均すれば、期待値になります。

回答No.4

Ishiwara

【問１】
横軸にその人の到着時刻、縦軸に待たされる時間をとって、グラフにします。すると二等辺三角形が２つできますよね。
一方の面積は（ｘ＾２）/２であり、他方は（（６０－ｘ）＾２）/２です。これを「地ならし」して長方形にしてしまえば、その高さが期待値になります。

回答No.3

taromaru03

frag4lifesさんへ。

順番に質問に答えます。

>>上のE[X]の求め方では求められないのでしょうか？
この公式は確率変数Xの期待値を求めるものですね？逆にいえば、求めたい確率変数の期待値があるとき、その確率変数を直接Xとおく必要があり、またXの密度関数を直接求めないといけません。今回求めたいのはバスの待ち時間の期待値ですので、この公式を使おうとすると、バスの待ち時間を確率変数Xと置かないといけません。ではXの密度関数は？frag4lifesさんの考える通り、これは直接求めることは難しいですね。おそらくこれ以上先には行けなくなるので、この公式を直接使うのは難しいと思います。

変数変換した後の期待値の公式ですが、frag4lifesさんの勉強の進み具合から考えると、すぐ理解できますよ。一応紹介します。Xを確率変数とし、Xの密度関数をf(x)とし、g(x)をある関数とします。このときXを変数変換した確率変数g(X)の期待値は
E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx
です。

今回の問題ではXがYとしてあり、f(x)=1/60、g(x)がg(y)になっていて
E[g(Y)]=∫g(y)f(y)dy
となっているのです。

この回答が課題提出に間に合うといいですけど（＾＾）。

回答No.1

f272

(1)
0分からx分までのx分間に来る場合は期待値はx/2分
x分から60分までの60-x分間に来る場合は期待値は(60-x)/2分
それぞれにx/60と(60-x)/60の重みを付けて足す。
(2)
(1)と全く同じように考える。