0≦p,q,r,s≦2010を満たす整数とします。

質問

0≦p,q,r,s≦2010を満たす整数とします。
p^2-2q^2+3r^2-6d^2=0を満たす整数 p,q,r,sの組はいくつありますか

回答No.1

hopper0024 · ベストアンサー

p=q=r=s=0　のみが解で、ひと組だけ、っていうオチですか？

p^2＋3r^2＝2（q^2＋３s^2）　書き換えて、p,q,r,sを３で割った余りを考えると
等号が成立するためには、p,qが共に3で割り切れることが必要となる。
そこで、p=3p_1,q=3q_1 とおいて考えると、再び各変数を３で割った余りを考えて、
今度はr,sが共に３で割り切れることが必要となる。
以下同様の議論を繰り返して、いつまでたっても３で割り切れる必要性と、数が２つづつ、どんどん３で割られた数に置き換えられて、０に近づくことから、p=q=r=s=0　に辿り着くしかないようです。

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございました。