高校数学の整数問題

質問

互いに素な自然数 P と Q があり、

　　P > Q、|s| < 1、|t| < 1

であるとき Q|s| - P|t| が整数でないようにするために

　　|s| < m < 1、|t| < n < 1

となるような m と n を P と Q で表すにはどうしたらいいですか？

　たとえば
　　|s| < 1/2P、|t| < 1/2P
のときだと
　　Q|s| < Q/2P.
　　P|t| < P/2P = 1/2.　　∴Q/2P < 1/2.
　したがって

　　Q|s| - P|t| < Q/2P - 1/2
　　-1 < Q/2P - 1/2 < 0

で、一見よさそうですが
　　P = 3、Q = 2、s = 1/16、t = 1/24
という反例が簡単に見つかってしまいます。

回答No.1

shintaro-2 · ベストアンサー

>であるとき Q|s| - P|t| が整数でないようにするために
>　　|s| < m < 1、|t| < n < 1
>となるような m と n を P と Q で表すにはどうしたらいいですか？

問題文が変です。

たとえば
P=7,Q=5であるとき
s=t=1/2　で
Q|s| - P|t| は整数となります。
P=16、Q=13であるとき
s=t=1/3で
Q|s| - P|t| は整数となります。

つまり
　|s| < m < 1、|t| < n < 1
というような
ｓとｔとが独立の数では
Q|s| - P|t| が整数でないということは言えないのでは？

また
＞たとえば
＞　　|s| < 1/2P、|t| < 1/2P
＞のときだと

P,Qは互いに素な自然数ですから、
どちらも２以上である必要があります。
そうすると、s,tは１以下ですから
1/2Pとか1/2Qというのも変です。
1/(2P)、1/(2Q)というのなら別ですが

お礼

> 1/2Pとか1/2Qというのも変です。
> 1/(2P)、1/(2Q)というのなら別ですが
　これはそのつもりで書きました。

　回答ありがとうございます。
>ｓとｔとが独立の数では
> Q|s| - P|t| が整数でないということは言えないのでは？
　ああ、なるほど。ここをもう少し考えてみます。