ベキ乗平均とStolarsky meanをまとめる
n個の正の数x[1]、…、x[n]に対して、それぞれp乗したものの和をnで割り、そして1/p乗したものは、
ベキ乗平均 {(x[1]^p＋…＋x[n]^p)/n}^(1/p)
と呼ばれ、実数pに関して単調増加になることが知られています。
n=2のとき、{(x^p+y^p)/2}^(1/p)
という形で、
p→-∞のとき最小値、
p=-1のとき調和平均、
p→0のとき相乗平均、
p=1のとき相加平均、
p→∞のとき最大値です。
また、Stolarsky meanと呼ばれるものがあって、
http://en.wikipedia.org/wiki/Stolarsky_mean
によると、
f^(n)-1(n!・f[x[0],…,x[n]]) for f(x)=x^p
なのですが、同様に実数pに関して単調増加になることが知られています。
2変数のとき、{(x^p-y^p)/p(x-y)}^{1/(p-1)}
という形で、
p→-∞のとき最小値、
p=-1のとき相乗平均、
p→0のとき対数平均、
p=2のとき相加平均、
p→∞のとき最大値です。
2変数のとき、ベキ乗平均とStolarsky meanをまとめたものがあるようで、
E_r,s(x,y)={r(x^s-y^s)/s(x^r-y^r)}^{1/(s-r)}
において、r=1とすると、Stolarsky mean
E_1,s(x,y)={(x^s-y^s)/s(x-y)}^{1/(s-1)}
になり、s=2rとすると、ベキ乗平均
E_r,2r(x,y)={(x^2r-y^2r)/2(x^r-y^r)}^{1/r}={(x^r+y^r)/2}^(1/r)
になります。
ここでn変数のときのベキ乗平均とStolarsky meanをまとめたものはさすがにたいへんなので、
3変数のときのベキ乗平均とStolarsky meanをまとめたものを具体的に知りたく思うのですが。
なお、3変数のときのベキ乗平均は
{(x^p+y^p+z^3)/2}^(1/p)
で、3変数のときのStolarsky meanは僕の計算によると
{ 2x^p/p(p-1)(x-y)(x-z) + 2y^p/p(p-1)(y-z)(y-x) + 2z^p/p(p-1)(z-x)(z-y)} ^ {1/(p-2)}
になりました。
お礼
教えていただきありがとうございました。