p^2=2^q+1 を満たす正の整数p , qをすべて求めよ。

質問

p^2=2^q+1　を満たす正の整数p , qをすべて求めよ。

因数分解かな、と思ったのですが、
(p－1)(p+1)=2^q

解答がなく、解けずに苦戦しています。

どなたか分かる方、方針だけでもよいのでよろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> (p , q)＝（3 , 3）はすぐ分かるのですが
> この後が続きません…。
>
> 「全て」というので、何らかの不等式に持ち込んで範囲を絞るのだと思うのですが…。

不等式で範囲を絞る以前に、
(p, q) = (3, 3)以外の解が存在しないと思います。

p-1とp+1の差は「たった2」しかありません。

対して、2のべき乗を列挙した数列
1, 2, 4, 8, 16, 32, …
をよく見てください(とくに後ろの部分)。
後ろの項はどんどん数が大きくなります。
こんな風にどんどん大きくなってしまう後ろの項で、
「差がたった2」になるような2つの数の組み合わせが存在するとは思えません。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

なるほど！
最初から不等式を立てようとするのではなく、予想を立てて、それに証明する不等式を導けばよいのですね。

何となくできそうです。どうもありがとうございました。

回答No.3

ninoue

右辺は奇数ですから左辺は奇数の二乗のはずです。
従って次のようになるはずです。

(2a+1)^2 = 2^q +1;
4a^2 +4a +1 = 4a(a+1) +1 = 2^q +1;
a(a+1) =2^(q-2);

従って次が求まります。
a=1, q=3

それ以外は左辺は偶数*奇数のペア、右辺は偶数のみの積ですからこれを満足する数はa=1以外に解はありません。

お礼

ご回答どうもありがとうございました。

こちらは証明までしっかり書いてくださり、どうもありがとうございます。

因数分解せずに、置き換えるのですね。
気付きそうで、気付かないです…。

因数分解以外は考えもしなかったのですが、うまく両辺の1が消えるのですね。
すごいです。

こちらの解法もぜひマスターしたいです。

どうもありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

> (p－1)(p+1)=2^q

これは(p-1)(p+1)を素因数分解すると2^qになる事を意味します。
なので(p-1)(p+1)は素因数を2しかもちません。

なので(p-1)は1または2のべき乗
(p+1)も2のべき乗です(pが正の数なので、p+1が1になることはありません)。

2のべき乗を列挙すると
1, 2, 4, 8, 16, 32, …
となります。この中にp-1とp+1にあう物があるはずです。
後はそれを見つけてあげれば、pの値とqの値が求まります。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

(p , q)＝（3 , 3）はすぐ分かるのですが
この後が続きません…。

「全て」というので、何らかの不等式に持ち込んで範囲を絞るのだと思うのですが…。