微分について質問があります。

質問

微分について質問があります。

x=siny　についてdy/dxを求めよ。という問題があります。

どのようにすれば、解けるのでしょうか？

解答までを導いていただける方、よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

逆関数の微分の公式
　　dy/dx = 1/(dx/dy)
を用います。

　　x = sin(y)
において、いきなりdy/dxを求めるのは難しいですが、dx/dyならば計算できますよね？
普段とx,yが逆なので見慣れないかも知れませんが、変数の名前の違いは本質的ではないのです。

yを代入したらxの値が求まる関数だと思ってsin(y)をyで微分してください。
　　dx/dy = cos(y)
になりますね。

ここから、先ほどの逆関数の微分の公式より、
　　dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/cos(y)
　　dy/dx = 1/cos(y)
これが答えです。

右辺が、yについての式になっていますが、元のx=sin(y)の関係を使ってxについての式に直すこともできます。
　　(sin(y))^2 + (cos(y))^2 = 1
より
　　cos(y) = √(1-(sin(y))^2)
x=sin(y)より
　　cos(y) = √(1-x^2)
これを代入すればokです。

お礼

丁寧に解説して下さり、ありがとうございました。解くことができました。感謝します（*^_^*）