∫(1/x)dx=log|x|+c

質問

∫(1/x)dx=log|x|+c
で何故、絶対値記号をつけるのですか。

そうであれば、√xも√|x|とすべきでないのでは。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

←No.2 補足

複素積分で考えるなら、
∫dx/x = (log x) + C = log(-x) + (C + πi)　によって、
log x と log(-x) の違いは積分定数の違いであることが
ハッキリすると思います。
(log x) + C と log(-x) + C は、積分整数が異なる二つの解
なので、一つの特殊解に詰め込むことはできないことも。

実積分の範囲で説明するのであれば、
A No.2 に書いたように、∫dx/x が x>0 と x<0 の両方の
範囲で収束することはあり得ない…ことに尽きるでしょう。

回答No.3

koko_u_u

高校数学の範囲で考えるとして、

【定義】
∫(1/x)dx とは、微分方程式 df(x)/dx = 1/x を満たす微分可能な関数 f(x)

としましょう。

このように定義する上で、f(x) の定義域をどう考えればよいでしょうか？

右辺が x = 0 では定義されていないので、f(x) も x = 0 での定義や、微分可能性については
放棄してよさそうです。
しかしそれ以外の範囲 { x ∈ R | x ≠ 0 } では定義されて、微分可能であって欲しいですね。

f(x) = log(x) の定義域は { x ∈ R | x > 0 } であり、我々の欲求はいま一歩のところで満たされません。

回答No.2

alice_44

それを log｜x｜ と書いてはいけない、
log(±x) と書くべきだ …と、常々布教している
のですが、賛同者は少ないですね。しくしく。

一般解 log｜x｜+C に、初期値を代入して
積分定数を決定すると、
特殊解がひとつに定まるのですが、
このとき、積分定数の値と同時に、
log x か log(-x) かの一方が選ばれて、
定義域は x＞0 か x＜0 かの
どちらかに決まるのです。

絶対値を含む特殊解に x＞0 でも x＜0 でも
代入できる訳ではないから、
この点を誤解してはいけない。

だって、積分区間が 0 を跨いだら、
積分 ∫dx/x は収束しないんですから。

お礼

有難うございました。
このややこしい状況が、コーシーの積分定理ですっきりするのですね。
?1/zdz=2πi
とか。

回答No.1

k_kota

絶対値が無いと最初の式は成立しませんよね。なので必要です。
別にlogの中が負になると困るから付けてる訳ではありません。

ちなみに根号もlogも中身が負の数でも値は持ちます。