(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

質問

(x^2)' = 2x^1　⇔　∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1　⇔　∫1 dx = x + C
※　ln(x)' = x^-1　⇔　∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2　⇔　∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3　⇔　∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう？

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう？

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

（もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか？）

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 （x≠0）ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、（分母にnがあるので）n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

お礼

なるほど。
０は何度微分しても０ですけど、
常に　(x^α)' = α x^{α-1}　で考えるとそうですね。
積分のほうは、
分母のｎが０になる「隙間」を埋めるという考え方ですね。
これも、なるほど、です。
ありがとうございます。

回答No.1

proto

まぁ確かに不思議ですよね。
ポイントとしてはx^nを微分して定数になるのはn=1のときとn=0のときってことですね。
基本x^nは定数ではないけれど、n=0のときx^0=1となって定数になってしまうんですよね。

これと似たようなことってほかにもありますよね。
フーリエ解析なんかでは、sin(ωx)やcos(ωx)なんかがよく使われます。
基本sin,cosは何回積分しても何回微分しても三角関数になるんですが、唯一波長が0のとき、つまりω=0のときは定数関数になってしまうんですよね。

また指数関数exp(kx)なんかもk=0だと定数になってしまうんですよね。
　　∫exp(kx)dx = exp(kx)/k + C
ですがk=0のときは
　　∫exp(kx)dx = x + C
ですもんね。
不思議ですよね。

っていうか0は何を掛け合わせても0って不思議ですよね。

全く何の回答にもなってませんね、ごめんなさい。

お礼

いえいえー
ありがとうございます。
確かに０の場合は特殊ですね。