数IIIの最大最少、２次方程式の問題

質問

(1)　３つの方程式　3x+2y≧4、2x+y≦5,、x+2y≦6　で示される領域を求め、この領域内の点(x、y)に対してx+yの最大値および最小値を求めよ。

(2)長さαcmの針金で二等辺三角形を作り、その底辺を軸として１回転させてできる立体の体積を最大にするには、二等辺三角形の底辺と等辺をどのようにすればよいか。

(3)(k-1)2乗+3x+1=0が異なる２つの実数解を持つときの実数kの値の範囲を求めよ。

この問題は判別式≧０でやってみたのですが、答えと計算が合わないようで手間取ってます。

詳しい解説付きで教えていただけると嬉しいです。

回答No.3

info22_

(3)
>(k-1)2乗+3x+1=0が異なる２つの実数解を持つとき
この方程式は
(k-1)x^2 +3x+1=0
の誤植では？

そうなら
異なる２つの実数解を持つことから
　k-1≠0 かつ判別式D=9-4(k-1)=13-4k>0
これから
　k<1　または　1<k<13/4
が答えとなる。

(1)
3つの不等式の示す領域は
　３つの頂点A(-1,7/2),B(6,-7),C(4/3,7/3)を結んでできる△ABCの
　内部および境界線（辺AB,BC,CA及び頂点A,B,C）を含む
領域です。
x+y=kとおくとこれはy=k-xの直線mで上の(x,y)の領域を通過するようなkの範囲を
求めればk=x+yの範囲が求まる。
kが最大になるのは直線mが頂点C(4/3,7/3)を通る時で
　最大値k=x+y=4/3+7/3=11/3
kが最小になるのは直線mが頂点B(6,-7)を通る時で
　最大値k=x+y=6+(-7)=-1
k=x+yの取る範囲は -1≦k=x+y≦11/3となります。

∴x+yの最大値=11/3、最小値=-1

(2)
等辺の長さをx、底辺の長さをyとおくと
　α=2x+y
　y=α-2x …(A)
回転体の体積Vは、２つの円錐(底面の半径r=二等辺三角形の高さ=√(x^2-(y/2)^2),円錐の高さh=二等辺三角形の底辺の長さの(1/2)=y/2の直円錐）の底面を重ねて貼り合わせた形状をしてるから、
　V=2*(1/3)π(x^2-(y/2)^2)(y/2)=(π/3)(x^2-(y/2)^2)y
(A)を代入
　V=(π/3)(x^2-(α/2-x)^2)(α-2x)=-(2πα/3)(x-α/2)(x-α/4)
=-(2πα/3)(x-3α/8)^2+(π/36)(α^3)≦(π/36)α^3(等号x=3α/8)
Vが最大値(π/36)α^3をとる時のx,yは (A)から
　2等辺の長さx=3α/8
　底辺の長さy=α/4
が得られます。

回答No.2

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)　2)　等辺をx、底辺をy、高さをhとすると、その3つの間にある関係式がある。
又、2x＋2y＝α。体積は　yとαで表せる。そこで、αを消して、yの変域を決めると　体積はyの3次関数になる。
後は微分。

(正)　2)　等辺をx、底辺を2y、高さをhとすると、その3つの間にある関係式がある。←　ピタゴラスの定理。
又、2x＋2y＝α。体積は　yとhで表せる。そこで、hとxを消して、yの変域を決めると　体積はyの3次関数になる。
後は微分。

回答No.1

mister_moonlight

＞この問題は判別式≧０でやってみたのですが、答えと計算が合わないようで手間取ってます。

判別式が使えるのは、２次方程式。
したがって、君の解は　(k-1)＾2≠0を前提にしている。その配慮がないことと、例え　2次方程式の場合でも“異なる2つの解”だから　判別式＞0.

後は　ヒントを書いておく。

(1)　xy平面上に3つの条件を図示する。x+y＝αとすると、y＝-x＋αだから　傾きが　-1の　直線。
それを傾きを保ちながら、上下に動かしてみる。
ある点を通る時が、最大値と最小値を与える。

(2)　等辺をx、底辺をy、高さをhとすると、その3つの間にある関係式がある。
又、2x＋2y＝α。体積は　yとαで表せる。そこで、αを消して、yの変域を決めると　体積はyの3次関数になる。
後は微分。