不等式の領域

質問

座標平面上に3直線l:x-y=0, m:x+y=2, n:ax+(2a+3)y=1がある。
ただし、aは定数とする。

(1)lとmの交点の座標は(？,？)である。
(2)nはaの値によらず、定点(？,？)を通る。
(3)3つの不等式 x-y<0, x+y<2, ax+(2a+3)y<1 の表す領域が三角形の内部になるとき、？<a<？である。

(1)(2)は分かりましたが（3）のグラフでまずax+(2a+3)y=1がどのような直線になるのかがよく分かりません。答えは　(1)(1, 1) (2)(-2/3, 1/3) (3)-3<a<-1　です。

ヒントまたは解答をよろしくお願いいたします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

(2)が(3)のヒントになってる。

n:ax+(2a+3)y-1=a(x+2y)＋(3y-1)＝0　は直線：x+2y＝0と直線：3y-1＝0との交点(-2/3、1/3)を通る直線束を表している。
従って、ax+(2a+3)y-1＝0　の傾きについて考えると良いから
(1)　2a+3＝0の時、x＝-3/2であるから、確かに三角形を作るから解の一部。
(2)　2a+3≠0の時、条件を満たすには、｜(-a)/(2a+3)｜＞1であると良い。
　　両辺が非負から2乗すると、-3<a<-1。
2a+3＝0も解の一部から、求める答えは、-3<a<-1。

回答No.2

Mr_Holland

ベクトルの内積や直線の法線ベクトルを使って求めてみます。

(3)　先ず、2直線l,mの交点(1,1)はax+(2a+3)y<1の領域にありますので、a<-2/3 です。
　　直線lと直線mは直角に交差していますので、三角形の他の内角は鋭角です。
　　直線lの法線ベクトル：　(1,-1)
　　直線mの法線ベクトル：　(1,1)
　　直線nの法線ベクトル：　(a,2a+3)

　　(2)で求めた定点(-2/3,1/3)は2直線l,mで区切られた領域の左側にあるので、
　a<0 ですから　2直線l,nの法線ベクトルのなす角は　鈍角　で、2直線m,nの法線ベクトルの成す角は　鈍角　になります。
　　このことをベクトルの内積を使って表すと次のようになります。

　　a<0, a-(2a+3)<0, a+(2a+3)<0　　⇔　a<0,a>-3,a>-1　 ⇔　-3<a<-1

　　以上をまとめると　-3<a<-1 という条件が求められます。