線形代数に関する質問です

質問

VをC上の内積空間とする。ｆ∈EndVに対して次を示せ。
(EndVはVの線形変換全体の集合)

（i）ｆがエルミート変換ならばｆの固有値は実数である。

という問題があるのですがこれはエルミート行列の固有値が実数であることを証明しろといっているのと同じでしょうか？

回答No.6

reiman · ベストアンサー

No.5の最後の部分をを修正

すなわち
エルミート変換の表現行列をエルミート行列にするためには
Vの基底を直交基底に選ばなければならない

⇨

すなわち
エルミート変換の表現行列をエルミート行列にするためには
Vの基底を正規直交基底（ユニタリ基底）に選べばよい

「正規」が抜けていたのと
「選ばなければならない」はまずかった

お礼

いろいろと細かくありがとうございました。
十分理解できました。

回答No.5

reiman

エルミート変換fの
Vの任意の基底による表現行列Fは
必ずしもエルミート行列になるとは限らない

というのは
Hをエルミート行列としPを正則行列としたとき
F=P^-1・H・P
はエルミート行列になるとは限らないからである

Pがユニタリ行列になるように基底を選べば
P^-1=P^*
であるから
F^*=
(P^-1・H・P)^*=
(P^*・H・P)^*=
P^*・H*・P=
P^*・H・P=
P^-1・H・P=F
となりFはエルミート行列となる

すなわち
エルミート変換の表現行列をエルミート行列にするためには
Vの基底を直交基底に選ばなければならない

回答No.4

reiman

内積の定義に不備があったので訂正

内積(,)の定義を例えば

複素数a、Vの元u,v,wに対して
(0)(u,v)は複素数
(1)(u,v)^*=(v,u)
(2)(u,v+w)=(u,v)+(u+w)
(3)(u,av)=a(u,v)
(4)0≦(u,u)であり(u,u)=0⇨u=0

とし

エルミート変換の定義を例えば

Vの任意の元u,vに対して
(u,fv)=(fu,v)
を満たすEndVの元をエルミート変換

とすると

fをVのエルミート変換とし
xをfの固有値としwをfの固有値xに対するfの固有ベクトルとすると
(w,w)=(w,w)^*,(w,fw)=(fw,w)であるから
(x-x^*)(w,w)
=x(w,w)-x^*(w,w)
=x(w,w)-x^*(w,w)^*
=x(w,w)-(x(w,w))^*
=(w,xw)-((w,xw))^*
=(w,xw)-(xw,w)
=(w,fw)-(fw,w)
=0
よってx=x^*であるからxは実数

エルミート変換fの行列表現によって得られる行列が
エルミート行列になることを捕捉に示してください

回答No.3

reiman

ちょっと変だったので書き直し

内積、エルミート変換の定義を例えば

複素数a、Vの元u,vに対して
(1)(u,v)は複素数
(2)(u,v)=(v,u)^*
(3)(u,av)=a(u,v)
(4)(u,u)=0⇄u=0

とし

Vの任意の元u,vに対して
(u,fv)=(fu,v)
を満たすEndVの元をエルミート変換

とすると

fをVのエルミート変換とし
xをfの固有値としwをfの固有値xに対するfの固有ベクトルとすると
(w,w)=(w,w)^*,(w,fw)=(fw,w)であるから
(x-x^*)(w,w)
=x(w,w)-x^*(w,w)
=x(w,w)-x^*(w,w)^*
=x(w,w)-(x(w,w))^*
=(w,xw)-((w,xw))^*
=(w,xw)-(xw,w)
=(w,fw)-(fw,w)
=0
よってx=x^*であるからxは実数

回答No.2

reiman

内積、エルミート変換の定義を例えば

複素数a、Vの元u,vに対して
(1)(u,v)は複素数
(2)(u,v)=(v,u)^*
(3)(u,av)=a(u,v)
(4)(u,u)=0⇄u=0

とし

Vの任意の元u,vに対して
(u,fv)=(fu,v)
を満たすEndVの元をエルミート変換

とすると

xをfの固有値としwをfの固有値xに対するfの固有ベクトルとすると
(x-x^*)(w,w)=x(w,w)-x^*(w,w)=(w,xw)-(xw,w)=(w,fw)-(fw,w)=0
よってx=x^*であるからxは実数

回答No.1

alice_44

エルミート変換の表現行列がエルミート行列であることを
自明としてよければ、そのとおり。