線形代数学の問題

質問

VをK上の線形空間。
K = Cのとき，線形変換 f : V → V の固有多項式が重根を持た なければ，f は対角化可能であることを示せ

ちょっとわからないので解説お願いします

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

固有多項式の解を固有値と呼ぶのはご存じと思いますが、固有値が求まれば、各固有値に属する固有ベクトルが計算できます。固有ベクトルの性質としては、属する固有値が違えば、独立になります。
　Vの次元がnなら、fの固有多項式はn次方程式で解はn個です。重根がなければn本の固有ベクトルは、互いに全て独立で固有ベクトルによる基底が存在する事になります。Vの次元がnだからです。
　固有ベクトル基底に対するfの表現行列が対角行列である事は、固有ベクトルの定義を思い出せば、ほぼ明らかです。

　後は、問題がどこまで詳しい証明を要求するかですね。初っ端か全部やったらやっぱり大変ですよ(^^;)。