z,wを複素数とします．このとき，微分方程式dy/dz=yを用いて，指

質問

z,wを複素数とします．このとき，微分方程式dy/dz=yを用いて，指数法則

e^z・e^w＝e^（z+w）
を示せという問題なのですが，どのようにしたらいいでしょうか？

dy/dz=yを満たす冪級数を
y＝ΣCn・z^n （Cn：定数）
とすると，ｙ＝Co・e^zになるところまでは出来たのですが，
そこから積についてどのように示したら良いかわかりません．

よろしくお願いします．

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

dy/dz=y の解をy=f(z)とおいたとき（ただし，f(0)は0ではないとする）
f(z+w)を考えると
(df/dz)(z+w) = f(z+w)であるから
f(z+w)=Cf(z)とおける．
（線型一階定数係数微分方程式の解は一次元のベクトル空間だから）
w=z=0とおくとf(0)=Cf(0)であるのでC=1
よって
f(z+w)=f(z)f(w)

あとは，f(z)=Ce^z であることを示せば指数法則は十分でしょう．

回答No.3

kabaokaba

ついでに．
級数表示ができたんなら
コーシー積をとれば指数法則はすぐ出てくる
これは教養一年生の微積分でやってるはず
けどこれは問題の意図とは絶対に違う

回答No.1

alice_44

微分方程式 dy/dx = y の解が
y = C e^z であることを既知としてよいなら…

f(z) = e^z・e^w - e^(z+w) と置くと、
df/dz = f が成り立つから、f(z) = C e^z であるが、
f(0) = 0 だから、結局 f(z) ≡ 0。