大学入試の確率の問題です。どなたかお願いします。

質問

大学入試の確率の問題です。どなたかお願いします。
何度も考えてみたのですが、なかなか答えまで至りませんでした・・・

箱の中に赤色、青色、緑色のカードがそれぞれ4枚ずつある。
また、各色の4枚のカードに1～4までの数字が１つずつ書かれている

（１）無造作に2枚のカードを取り出したとき、2枚のカードに3と書かれていた。
これら2枚のカードが赤色または青色である確率を求めよ。（10点）

（２）無造作に3枚のカードを取り出したとき、赤色、青色、緑色のカードがそれぞれ１枚あった。
赤色に書かれていた数字をa青色に書かれていた数字をb緑色に書かれていた数字をcとして函数F(x)を

F(x)=∫[0,x](t^2-2at+b-c)dt
で定める。

xが(0≦x≦2)を満足するとき、函数F(x)の最大値を求めよ。またそのときのa,b,cの確率を求めよ。(20点)

（３）
最初に袋を１つ用意して、箱から1,2と書かれた赤色のカードを袋に移す。次に以下の操作を行う。
無造作に袋からカードを1枚取り出して出たカードを確認して箱に移す。
その後今度は箱から無造作にカードを１枚取り出して出たカードを確認して袋に移す。この操作をn回行う。
n回目に袋から取り出したカードが赤色、箱から取り出したカードが青色であり、かつ取り出した２つの
カードの和が4である確率をP(n)とする。このとき確率P(n)を求めよ。(15点)

回答No.1

Kules

答えは書きたくないので(というか計算がメンドクサソウなので)ヒントだけ。
(1)問題文が粗いと感じるのは私だけでしょうか？「1枚が赤で、かつもう1枚が青」
でないと問題として成立しない気がするんですが。
「２枚引いて２枚とも数字が[2]であった時、その2枚のいずれか1枚は赤または青である確率」
と解釈します。これは条件付き確率ですね。
まじめに条件付き確率の定義式とか考えなければ
(A:２枚引いて２枚とも数字が[2]であった　B:2枚のカードが赤色または青色　とすると、
P(A∧B)/P(A)です。)
「3枚の[2]と書いたカードがあり、その中から2枚引いた時、その2枚赤と青である確率」
と読み替えられるので、答えはたぶん2/3です。
P(A∧B)/P(A)でまじめに考えたらどうなるかはわかりません。

(2)
F(x)=∫[0,x](t^2-2at+b-c)dt より
F'(x)=(x^2-2ax+b-c)なので、F'(x)=0となるxがいくつあるかで場合分けが変わります。
・0個の時
F'(x)が常に正になるのでF(x)は単調増加関数、よって最大値はF(2)
0個になるにはF'(x)の判別式<0となればよい。そうなるa,b,cの組み合わせが何個あるか調べる。
・1個の時
0個の時とほぼ同じ。最大値はF(2)。ただし、a,b,cの解があるかどうかはわからない。
・2個の時
これが一番面倒かも。その解をα、β(α＜β)とすると、
α<0、β>２の時
(0≦x≦2)において単調減少なので、最大値はF(0)
α＞2またはβ＜0の時
(0≦x≦2)において単調減少なので、最大値はF(2)
α<0かつ0<β<2の時
0～βが単調減少、β～２が単調増加なので、最大値はF(0)とF(2)のどちらか。
0<α<2かつβ>2の時
0～αが単調増加、α～２が単調減少なので、最大値はF(α)
0<α<β<2の時
0～αが単調増加、α～βが単調減少、β<2が単調増加なので、最大値はF(α)とF(2)のどちらか。

こんだけ場合分けをすれば確実にでます。ただ、もうちょっと楽をできる要素はあると思います。

(3)
P(n)に該当する事象が起こるには、箱の中に、少なくとも1枚の赤のカードが入っており、
かつそのカードに書かれている数字が1~3である必要があります。(4の場合は和が4にならないので不適)
袋に入っているのは試行の途中を除いて常に2枚なので、その2枚が何色の、何と書いてあるカードなのかが重要です。
ということで、n回目の試行を行う前の袋の中にあるカードが、
両方赤で、4はない時をA(n)
両方赤で、4と1~3のいずれかである時をB(n)
1枚赤で、もう一枚が袋に入っている数字とペアにならない(例えば袋の赤が1なら、3以外です)青か緑である時をC(n)
1枚赤で、もう一枚が袋に入っている数字とペアになる(例えば袋の赤が1なら、3以外です)青である時をD(n)
1枚も赤がない時をE(n)
とすれば、P(n)はA(n)～E(n)を用いて表わすことができます。(といってもP(n)の状況が起こりうるのは、A(n)、C(n)だけですが)
後は、すっごいがんばってA(n)～E(n)をA(n-1)～E(n-1)で表わし、それらを連立漸化式として解いてやれば
P(n)は出ます。
ただ私は絶対やりたくないです(笑)多分もっといい方法があるとは思いますが、試験本番で残り解いてないのがこの問題だけで…という状況なら(3)は上のようにして解くと思います。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

お礼

長文ありがとうございました。

入試は時間が限られているので、もう少し楽な解法を探してみます。。。