準同型写像 位数

質問

φ: F^× _p → F^× _pを，a ∈ F^× _pに対して φ(a) = a^2 で定める.φ は乗法群 F^× _pの準同型写像であることと、Im(φ) ⊆ F^× _pの位数の求め方を知りたいです。宜しくお願い致します。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

まずはヒントだけ。一度考えてみてください。一応確認ですが、F_pというのは位数pの有限体で（pは素数に限定しているのかどうかが不明ですが）、F^× _pというのはその単数群、ということでいいですね？

以下 F^× _pを Gと書きます。

◯ φが群準同型、ということを見るには、定義の通り φ(xy) = φ(x)φ(y)を示せば良い。
◯ 次に Im(φ)の位数ですが、これは群論の基本的なことから、φの核 ker(φ) は Gの正規部分群で 群の準同型定理から Im(φ)とG/ker(φ)は同型、Lagrangeの定理から #(G) =#(G/ker(φ)) * #(ker(φ)) （#SはSの元の個数）なので、結局 #(Im(φ)) = #(G) / #(ker(φ)) となりますね。

で、 #(G) はいいとして、ker(φ) = {x∈ F_p | x^2 = 1 } となりますが、ここで x^2 = 1 ⇔ x^2 - 1 = 0 ⇔ (x+1)(x-1) = 0 は、任意の体で成立しますが、そこで、これを満たすxの個数、つまり ker(φ)の元の個数は、結局『体の標数で変わり得る』ことになります。

お礼

ヒントわかりやすいです！！解けました！
ありがとうございます！