数学 2次関数のグラフの場合分けの方法

質問

y=x^2 -2ax +4 (0≦x≦3) の最小値と最大値を求めよ

平方完成して、y=(x-a)^2 -a^2 +4

最小値
a<0
0≦a≦3
a>3
で場合分けをすれば良いのは分かるのですが

最大値
a<(2/3)
a=(2/3)
a>(2/3)
こちらは、a<0とa>3の場合を考えなくて良いのはどうしてですか？

宜しくお願いします。

回答No.1

Saturn5 · ベストアンサー

この関数のグラフは下に凸の放物線ですね。
そして、グラフの最小値は頂点（グラフの軸の部分）になります。

このグラフを一定区間で区切った場合、頂点がその範囲に含まれるかどうか
わかりません。それで場合分けが必要となります。
(1)頂点を含まない左側の範囲→右端が最小
(2)頂点を含む範囲→頂点が最小
(3)頂点を含まない左側の範囲→左端が最小

ところが、最大値はかならず範囲の左側か右側となります。
軸が０～３の左寄りならば右端が最大であり、右寄りならば
左端が最大となります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

t-daisuke

あなたに適性がありそうな考え方は以下の通りです。
あなたは最大と最小を分けて考えてますね。その方法で最大最小と、その時のaの範囲をいったんそれぞれだします。
そのあと、aの範囲を統合すればいいです。
例の場合はa<0 0≦a<2/3、、、のようにして、その時の最大最小をだしましょう

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

tekcycle

解答解説だけを見て首を捻っていてはいけません。

> こちらは、a<0とa>3の場合を考えなくて良いのはどうしてですか？

場合分けをして、正解を出してから考えることです。
数学は、勉強方法を間違うと伸びませんよ。
答えを出す際に、きちんと一々グラフを描いてみることです。
そのためには、まずはグラフがスラスラ描けるようにならないといけません。

物は考えようで、二次曲線を描いてしまって、後からｘ軸ｙ軸を書き入れる、書き入れると考えてみましょう。
すると、二次曲線がｘ軸ｙ軸方向に動くというのは、あたかもｘ軸ｙ軸が平行移動するようにも見えるはずです。
ｘの一定範囲内のグラフが、どう切り取られるのか、この際色々やってみて下さい。
最大値は左端で、グラフは範囲内で「単調減少」する。
最大値は左端だが、範囲内に頂点を持ち、グラフは単調減少はしない。
最大値は左端と右端で同値で、範囲内に頂点を持つ。(範囲の中心が頂点である)(勿論単調減少「単調増加」はしない)
最大値は右端だが、グラフは範囲内に頂点を持ち、単調増加はしない。
最大値は右端で、グラフは範囲内で単調増加する。
一般的にはこうなるはずです。自分で手を動かして、確認して下さい。
それに対して、設問の状況がどうなっているのか、です。
また、ａが０や３の付近では、何がどう変わるのか、です。確認して下さい。
勿論、こういうことを丸暗記しろ、ということではありません。
こんなもの、暗記しなくても、きちんと確認すれば済むことです。むしろ、暗記はその穴を突かれるかもしれません。
一々描いて確認する習慣を身に付けて下さい。

で、「何故そういう場合分けになったのか説明できていないものは解答ではない」です。
マークなら書きようが無いのですが、しかし、自分で解って解かないと解けないはずです。
記述なら、書いてなければ大減点です。意味が判りませんし、論理的に繋がりませんから。空気読め、は通用しません。
その教材は略解しか載ってないのでしょうか？
略解しか載ってないような教材は、自学自習で使ってはいけません。
最小値がどうなるのか、最大値がどうなるのか、きちんと解説してある教材を使わなければなりません。
数学は、勉強のやり方を間違うと伸びません。
例えばあなたなら、きちんとした解答解説がある教材を使っていれば、ここで質問しなくて済んだはずです。
1分で済んだことが数時間かかるのです。
だから、変な教材を使うと伸びないのです。

お礼

ありがとうございます。
気を付けるようにします。