周波数応答を求める際の変形の式が分かりません。

質問

周波数応答を求める際の変形の式が分かりません。
下のページの8.(c)の欄なのですが、
http://www.mk.ecei.tohoku.ac.jp/dsptext/answer/chapter5.pdf

(1+e^(－jω))^4=(2?e^(－j(ω/2))?cos(ω/2))^4
この変形がどうしても分からず困っています。
アドバイス、よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

オイラーの式：e^(-jx)=cos(jx)-jsin(jx)と三角関数の倍角公式を使う。

1+e^(－jω)=1+cosω-jsinω=2cos^2(ω/2)-2sin(ω/2)cos(ω/2)
=2cos(ω/2)(cos(ω/2)-jsin(ω/2))=2cos(ω/2)e^(-j(ω/2))

お礼

詳しい変形で分かりやすかったです。おかげさまで、納得することができました。詳細なご回答、ありがとうございました！

回答No.3

178-tall

>(1+e^(－jω))^4=(2*e^(－j(ω/2))*cos(ω/2))^4

倍角公式による変形みたいです。
　1 + e^(-jω) = (1+cosω) - j*sinω
　= 2*{cos(ω/2)}^2 - j*2*sin(ω/2)*cos(ω/2)
　= 2*cos(ω/2){cos(ω/2) - j*sin(ω/2)}
　= 2*cos(ω/2)*e^(-jω/2)

お礼

アドバイスありがとうございました。
下のお方がわずかに早かったのでそちらをベストアンサーにさせて頂きます。
申し訳ございません。

回答No.1

Tacosan

逆に, 右辺から左辺に考えてみればいいと思う.

お礼

実際にやってみました。cosωn=1/2(e^(jwn)+e^(-jwn))でn=1/2とすればいいのですね。
より正しさを確かめられることができました。ありがとうございました。